Question

1．如图1，正△ABC和Rt△ABD中，∠ADB=90°．
（1）如图2，在四边形ADBC中以AD为边作等边△ADE，求证：CE=BD；
（2）如图3，在（1）的条件下，延长CE交DB于F，求证：DF=EF；
（3）若BC=6，△ABD的内切圆的半径为r，则r的最大值为3$\sqrt{2}$-3（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）欲证明CE=BD，只要证明△ADB≌△AEC即可．
（2）由△DAB≌△EAC，推出∠AEC=∠ADB=∠AEF=90°，由∠ADE=∠AED=60°，推出∠FDE=∠FED=30°，即可证明．
（3）设BD=m，AD=n，则r=$\frac{m+n-6}{2}$=$\frac{m+n}{2}$-3，由m²+n²=36，因为36=m²+n²≥$\frac{（m+n）^{2}}{2}$，推出m+n≤6$\sqrt{2}$，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：如图2中，

∵△ADE是等边三角形，△ABC是等边三角形
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAB=∠EAC，
在△ADB和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△AEC，
∴BD=CE．

（2）证明：如图3中，

由（1）可知，△DAB≌△EAC，
∴∠AEC=∠ADB=∠AEF=90°，
∵∠ADE=∠AED=60°，
∴∠FDE=∠FED=30°，
∴FD=FE，

（3）解：设BD=m，AD=n，则r=$\frac{m+n-6}{2}$=$\frac{m+n}{2}$-3，
∵m²+n²=36，
∵36=m²+n²≥$\frac{（m+n）^{2}}{2}$，
∴m+n≤6$\sqrt{2}$，
∴r≤3$\sqrt{2}$-3，
∴r的最大值为3$\sqrt{2}$-3．
故答案为3$\sqrt{2}$-3．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、不等式的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，难点是理解不等式的性质m²+n²≥$\frac{（m+n）^{2}}{2}$的应用，属于中考压轴题