Question

【题目】问题呈现：下图是小明复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小明完成以下学习任务．

请根据小明的思路，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：

（1）如图②，在四边形中，，的平分线和的平分线交于边上点．求证：；

（2）在（1）的条件下，如图③，若，．当有一个内角是时，的面积是 ．

Answer 1

【答案】问题呈现：见解析；结论应用：（1）见解析；（2）或8

【解析】

问题呈现：由“SAS”可证△MOP≌△NOP，可得PM＝PN；

结论应用：（1）在AB上截取AE＝AD，连接PE，由“SAS”可证△ADP≌△AEP，△BPC≌△BPE，可得PD＝PE＝PC；（2）延长AP，BC交于点H，由“ASA”可证△ADP≌△HCP，可得CP＝DP，AD＝CH，S△ADP＝S△CPH，分三种情况讨论，由角平分线的性质和锐角三角函数可求解．

问题呈现：

证明：∵平分，

∴．

在和中，

．

∴．

结论应用：

在上截取，

∵平分，

∴，

∵，

∴．

∴．

∵，

∴，

∵平分，

∴．

∵．

∴．

∴．

∴．

（2）由（1）可证∠D＝∠AEP，∠PCB＝∠PEB，

∵∠AEP+∠PEB＝180°，

∴∠PCB+∠D＝180°，

∴AD∥BC，

∵AB＝10，tan∠PAB＝＝，

∴PA＝2PB，

∵PA2+PB2＝AB2，

∴PB＝2，PA＝4，

如图③，延长AP，BC交于点H，

∵AD∥BC，

∴∠DAP＝∠H，

∴∠H＝∠BAP，

∴AB＝BH＝10，

又∵PB平分∠ABC，

∴BP⊥AP，AP＝PH＝4，

∵∠DAP＝∠H，AP＝PH，∠DPA＝∠CPH，

∴△ADP≌△HCP（ASA），

∴CP＝DP，AD＝CH，S△ADP＝S△CPH，

若∠PBC＝45°时，则∠PBC＝∠H＝45°，

∴PB＝PH（不合题意舍去），

若∠BPC＝45°时，则∠HPC＝∠BPC＝45°，

如图④，过点C作CN⊥BP于N，CM⊥PH于M，

∴CM＝CN，

∵S△PBH＝×BP×PH＝×BP×CN+×PH×CM，

∴CM＝CN＝，

∴S△PCH＝×4×＝＝S△ADP；

若∠PCB＝45°时，

如图⑤，过点P作PF⊥BC于F，

∵∠PAB＝∠H，

∴tanH＝tan∠PAB＝，

∴，

∴FH＝2PF，

∵PF2+FH2＝PH2＝80，

∴PF＝4，FH＝8，

∵PF⊥BC，∠BCP＝45°，

∴∠PCB＝∠FPC＝45°，

∴CF＝PF＝4，

∴CH＝4，

∴S△ADP＝S△CPH＝×4×4＝8，

故答案为：8或．