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19.如图,在平行四边形ABCD中,AD=2CD,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上,连接EF、CF,则下列结论①∠DCF=∠ECF;②EF=CF;③∠DFE=3∠AEF;④S△BEC<2S△CEF.中一定成立的是②③④.(请填序号)

分析 如图延长EF交CD的延长线于H.作EN∥BC交CD于N,FK∥AB交BC于K.利用平行四边形的性质,全等三角形的判定和性质一一判断即可解决问题.

解答 解:如图延长EF交CD的延长线于H.作EN∥BC交CD于N,FK∥AB交BC于K.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CH,
∴∠A=∠FDH,
在△AFE和△DFH中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠FDH}\\{∠AFE=∠HFD}\\{AF=DF}\end{array}\right.$,
∴△AFE≌△DFH,
∴EF=FH,
∵CE⊥AB,AB∥CH,
∴CE⊥CD,
∴∠ECH=90°,
∴CF=EF=FH,故②正确,
∵DF=CD=AF,
∴∠DFC=∠DCF=∠FCB,
∵∠FCB>∠ECF,
∴∠DCF>∠ECF,故①错误,
易证四边形DFKC是菱形,
∴∠DFC=∠KFC,
∵AE∥EK,
∴∠AEF=∠EFK,
∵FE=FC,FK⊥EC,
∴∠EFK=∠KFC,
∴∠DFE=3∠AEF,故③正确,
∵四边形EBCN是平行四边形,
∴S△BEC=S△ENC
∵S△EHC=2S△EFC,S△EHC>S△ENC
∴S△BEC<2S△CEF,故④正确,
故正确的有②③④.
故答案为②③④.

点评 本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边的中线的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.

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