Question

3．已知：四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，点E是射线CD上的一个动点（与C、D不重合），将△ADE绕点A顺时针旋转120°后，得到△ABE′，连接EE′．
（1）如图1，∠AEE′=30°；
（2）如图2，如果将直线AE绕点A顺时针旋转30°后交直线BC于点F，过点E作EM∥AD交直线AF于点M，写出线段DE、BF、ME之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，如果CE=2，AE=$2\sqrt{7}$，求ME的长．

Answer 1

分析 （1）根据旋转性质以及三角形内角和定理即可解决．
（2）根据EM∥FE′可以得$\frac{EM}{FE′}$=$\frac{EN}{NE′}$=$\frac{1}{2}$，再根据AN=NE，BE′=DE即可得到线段DE、BF、ME之间的关系．
（3）通过辅助线求出线段E′F=7，E′Q=9，再由（2）的结论得到ME的长．

解答 解：（1）∵△ABE′是由△ADE绕点A顺时针旋转120°得到，
∴∠EAE′=120°，AE=AE′，
∴∠E′=∠AEE′=$\frac{1}{2}（180°-∠EAE′）$=30°，
故答案为30°．
（2）①当点E在CD上时，DE+BF=2ME，理由如下：
如图1，当点E在线段CD上，AF交EE′于N，
∵∠EAF=30°，∠EAE′=120，
∴∠E′AN=90°，
∴E′N=2AN，
∵∠NAE=∠NEA=30°，
∴NA=NE，E′N=2EN，
∵EM∥FE′，
∴$\frac{EM}{FE′}$=$\frac{EN}{NE′}$=$\frac{1}{2}$，
∵BE′=DE，
∴E′F=2ME，
∴DE+BF=2ME．
②当点E在CD延长线上，0°＜∠EAD∠30°时，BF-DE=2ME，理由如下：
如图2，∵∠EAF=30°，∠EAE′=120，
∴∠E′AN=90°，
∴E′N=2AN，
∵∠NAE=∠NEA=30°，
∴NA=NE，E′N=2EN，
∵EM∥FE′，
∴$\frac{EM}{FE′}$=$\frac{EN}{NE′}$=$\frac{1}{2}$，
∵BE′=DE，
∴E′F=2ME，
∴BF-DE=2ME．
③当30°＜∠EAD∠90°时，DE+BF=2ME，理由如下：
如图3，∵∠EAM=30°，∠EAE′=120，
∴∠E′AN=90°，
∴E′N=2AN，
∵∠NAE=∠NEA=30°，
∴NA=NE，E′N=2EN，
∵EM∥FE′，
∴$\frac{EM}{FE′}$=$\frac{EN}{NE′}$=$\frac{1}{2}$，
∵BE′=DE，
∴E′F=2ME，
∴BF+DE=2ME．
④当90°＜∠EAD＜120°时，DE-BF=2ME，理由如下：
如图4，∵∠EAM=30°，∠EAE′=120，
∴∠E′AN=90°，
∴E′N=2AN，
∵∠NAE=∠NEA=30°，
∴NA=NE，E′N=2EN，
∵EM∥FE′，
∴$\frac{EM}{FE′}$=$\frac{EN}{NE′}$=$\frac{1}{2}$，
∵BE′=DE，
∴E′F=2ME，
∴DE-BF=2ME．
（3）如图5，作AG⊥BC于点G，DH⊥BC于H，AP⊥EE′于P，EQ⊥BC于Q，
∵AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，易知四边形AGHD是矩形，
在△AGB和△DHC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠DCH}\\{∠AGB=∠DHC}\\{AG=DH}\end{array}\right.$，
∴△AGB≌△DHC，
∴BG=HC，AD=GH，
∵∠ABE′=∠ADC=120°，
∴点E′、B、C共线，设AD=AB=CD=x，则GH=x，BG=CH=$\frac{1}{2}$x，
在RT△EQC中，CE=2，∠ECQ=60°，
∴CQ=$\frac{1}{2}$EC=1，EQ=$\sqrt{3}$，
∴E′Q=BC+BE′-CQ=3x-3，
在RT△APE中，AE=2$\sqrt{7}$，∠AEP=30°，
∴AP=$\sqrt{7}$，PE=$\sqrt{21}$，
∵AE=AE′，AP⊥EE′，
∴PE=PE′=$\sqrt{21}$，
∴EE′=2$\sqrt{21}$，
在RT△E′EQ中，E′Q=$\sqrt{EE{′}^{2}-E{Q}^{2}}$=9，
∴3x-3=9，
∴x=4，
∴DE=BE′=2，BC=8，BG=2，
∴E′G=4，
∵∠AE′G=′AE′F，∠AGE′=∠FAE′，
∴△AGE′∽△FAE′，
∴$\frac{AE′}{E′G}=\frac{E′F}{AE′}$，
∴$\frac{2\sqrt{7}}{4}=\frac{E′F}{2\sqrt{7}}$，
∴E′F=7，
∴BF=E′F-E′B=7-2=5，
∵DE+BF=2ME
∴ME=$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查等腰梯形的性质、直角三角形中30度角的性质、勾股定理、平行成比例、旋转的性质等知识，学会分类讨论，正确画出图形是解题的关键．