Question

如图1．已知Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，M是斜边AB上的一个动点，垂足为H，以MH为对角线作菱形MPHQ，其中，顶点P始终在斜边AB上．连接PQ并延长交AC于点E，以E为圆心，EC长为半径作⊙E．
（1）∠PMQ的度数是

60°

．
（2）如图2，当点Q在⊙E上时，求证：点Q是Rt△ABC的内心．
（3）当⊙E与菱形MPHQ边所在的直线相切时，求BM的值．

Answer 1

分析：（1）根据平行线MH∥AC的性质推知∠A=∠BMH，则易求∠PMQ=2∠A；
（2）如图1，过Q点作QF⊥BC于点F，连接BQ．欲证明点Q是Rt△ABC的内心，只需证明点Q是∠ACB的平分线与∠ABC的平分线的交点；
（3）设⊙E的半径为r．需要分类讨论：①如图2，设⊙E与直线HQ相切于点N，直线HQ交AC于点D，连接EN．构建平行四边形AMHD，由平行四边形的性质、（2）中的正方形CEQF的性质推知AD=MH=2r；然后根据含30度角的Rt△DEN的性质求得AC=AD+DE+EC=5r，结合Rt△ABC的AC的值求得r的值；最后在Rt△MHB中利用勾股定理求得BM的值；
②如图3，设⊙E与直线AB相切于点G，连接EG．利用含30度角的直角三角形的性质来求BM的值．

解答：解：（1）∵MH⊥BC，AC⊥BC，
∴MH∥AC，
∴∠A=∠BMH=30°．
又∵线段MH、PQ是菱形MPHQ的对角线，
∴∠QMH=∠PMH=30°，
∴∠PMQ=∠60°．
故填：60°；

（2）如图1，过Q点作QF⊥BC于点F，连接BQ．
∵AC⊥BC，∴QF∥AC，
∵四边形MPHQ是菱形，
∴PE⊥MH，
又∵BC⊥MH，∴PE∥BC，
∴四边形CEQF是矩形，又∵EC=EQ，
∴四边形CEQF是正方形，
∴QE=QF，即点Q在∠ACB的平分线上．
∵在菱形MPHQ中，∠PMQ=60°，
∴△MPQ和△PHQ都是等边三角形，
∴QP=QH，
又∵PE∥BC，HQ∥MP，
∴四边形BPQH是菱形，
∴BQ平分∠ABC，
∴点Q为Rt△ABC的内心；

（3）∵⊙E、菱形MPHQ都是关于直线PE对称，
∴⊙E与直线HQ、直线MQ同时相切；或与直线PM、直线PH同时相切，
∴分两种情况考虑：
①如图2，设⊙E与直线HQ相切于点N，直线HQ交AC于点D，连接EN．
则EN⊥DH，四边形CHOE是矩形．
设⊙E的半径为r，则MH=2OH=2r，
由（2）得：MH∥AC，HQ∥AB，
∴四边形AMHD是平行四边形，
∴AD=MH=2r，
在Rt△DEN中，∠EDN=∠A=30°，
∴DE=2EN=2r，
∴AC=AD+DE+EC=5r．
又∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，
∴BC=

1

2

AB=1，∴AC=

22-12

=

3

，
∴r=

3

5

，∴MH=

2 3

5

，
∵在Rt△MHB中，∠MHB=90°，∠BMH=∠A=30°，
∴BM2-(

1

2

BM)2=MH2=

12

25

，
∴BM=

4

5

；
②如图3，设⊙E与直线AB相切于点G，连接EG，
∴EG⊥AB，又∠A=30°，
∴AE=2EG=2r，
∵AC=AE+EC=3r，
∴3r=

3

，r=

3

3

，
∴MH=

2 3

3

，
∴BM2-(

1

2

BM)2=MH2=

4

3

，
∴BM=

4

3

，
综上所述，当⊙E与菱形MPHQ边所在的直线相切时，BM的值为

4

5

或

4

3

．

点评：本题考查了圆的综合题．解答（3）题时，一定要分类讨论，以防漏接．再者，根据圆与菱形的轴对称性推知：⊙E与直线HQ、直线MQ同时相切；或与直线PM、直线PH同时相切，是解题的关键．