Question

设a，b，c为互不相等的实数，且满足关系式：b²+c²=2a²+16a+14①bc=a²-4a-5②．求a的取值范围．

Answer 1

解：∵b²+c²=2a²+16a+14，bc=a²-4a-5，
∴（b+c）²=2a²+16a+14+2（a²-4a-5）=4a²+8a+4=4（a+1）²，
即有b+c=±2（a+1）．
又bc=a²-4a-5，
所以b，c可作为一元二次方程x²±2（a+1）x+a²-4a-5=0③的两个不相等实数根，
故△=4（a+1）²-4（a²-4a-5）=24a+24＞0，
解得a＞-1．
若当a=b时，那么a也是方程③的解，
∴a²±2（a+1）a+a²-4a-5=0，
即4a²-2a-5=0或-6a-5=0，
解得，或．
当a=c时，同理可得或．
所以a的取值范围为a＞-1且且．
分析：先通过代数式变形得（b+c）²=2a²+16a+14+2（a²-4a-5）=4a²+8a+4=4（a+1）²，即有b+c=±2（a+1）．有了b+c与bc，就可以把b，c可作为一元二次方程x²±2（a+1）x+a²-4a-5=0③的两个不相等实数根，由△=4（a+1）²-4（a²-4a-5）=24a+24＞0，得到a＞-1．再排除a=b和a=c时的a的值．先设a=b和a=c，分别代入方程③，求得a的值，则题目要求的a的取值范围应该是在a＞-1的前提下排除求得的a值．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的求根公式：x=（b²-4ac≥0）．同时考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式b²-4ac和根与系数的关系．