Question

如图，已知⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，O1在⊙O₂上，⊙O₂的弦BC切⊙O₁于B，延长BO₁、CA交于点P，PB与⊙O₁交于点D．

(1)求证：AC是⊙O₁的切线；

(2)连结AD、O₁C，求证：AD∥O₁C；

(3)如果PD=1，⊙O₁的半径为2，求BC的长

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：连结O1 A． ∵　BC切⊙O1于B，∴　O1B⊥BC． ∴　O1C是⊙O2的直径．∴　O1A⊥AC．∴　AC是⊙O1的切线． (2)证法一：连结AB交O1C于N，O1C与⊙O1的弧交于点M，则有=． ∴　=2∴　∠ADB=∠CO1B．∴　AD∥O1C． 证法二：∵　O1O2平分AB，O1D=O1B， ∴　O1N∥AD．即AD∥O1C． 证法三：∵　BD是⊙O1的直径， ∴　∠DAB=90°．即AB⊥AD． 又∵　AB⊥O1C，∴　AD∥O1C． (3)解：∵　AD∥O1C，PD=1，O1D=2，∴　． 设PA=x，则AC=2x． ∵　PA·PC=PD·PB，∴　x·3x=1×5． ∴　x= ．∴　AC=． ∵　O1C垂直平分AB，∴　BC=AC= ．∴　BC的长为．

提示：

(1)要证AC是⊙O1的切线，只需连结O1A证明O1A⊥AC，则只需证O1C是直径，由BC是⊙O1的切线．可知O1B⊥BC． 故结论得证． (2)要证AD∥O1C，途径较多，①可证∠ADB=∠CO1B，观察到∠ADB是圆周角．所对的弧是，∠CO1B是圆心角，所对的弧是，要证两角相等，只需证=2，由O1A=O1B，O1O2是连心线，知=，故结论成立． ②连结AB．可证AB⊥AD，AB⊥O1C．得AD∥O1C． ③连结AB交O1C于N，证明O1N是△ABD的中位线．亦可说明AD∥O1C． (3)由题意知已知量与BC无直接关系，而观察到BC与AC相等，AC是直线PC被平行线截得的部分，同时，AC还是割线PC的一部分，从这两个方面可得关于AC的方程．若设AC=x，可得PA=x． 又PD·PB=PA·PC，可求得AC．