Question

13．如图，已知抛物线y=ax²-2ax+b与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C，且OC=3OA，设抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上有一点Q，使MQ⊥NQ，且满足条件的Q点有且只有一个时，求M点横坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的解析式，可得到它的对称轴方程，进而可根据点B的坐标来确定点A的坐标，已知OC=3OA，即可得到点C的坐标，利用待定系数法即可求得该抛物线的解析式．
（2）求出点C关于对称轴的对称点，求出两点间的距离与CD相比较可知，PC不可能与CD相等，因此要分两种情况讨论：
①CD=PD，根据抛物线的对称性可知，C点关于抛物线对称轴的对称点满足P点的要求，坐标易求得；
②PD=PC，可设出点P的坐标，然后表示出PC、PD的长，根据它们的等量关系列式求出点P的坐标．
（3）此题要分2种情况讨论：点Q是直角顶点，那么点Q必为抛物线对称轴与x轴的交点，由此求得点Q的坐标，再利用当M在x轴上方或下方分别得出答案；

解答 解：（1）由y=ax²-2ax+b可得抛物线对称轴为x=1，由B（3，0）可得A（-1，0）；
∵OC=3OA，
∴C（0，3）；
依题意有：$\left\{\begin{array}{l}{a+2a+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$；
∴y=-x²+2x+3．

（2）存在．
由C点（0，3）和x=1可得对称点为P₁（2，3）；
设P₂（x，y），
∵C（0，3），P（2，3），
∴CP=2，
∵D（1，4），
∴CD=$\sqrt{2}$＜2，
∴PC不可能与CD相等；
∵CP₂²=（3-y）²+x²，DP₂²=（x-1）²+（4-y）²
∴（3-y）²+x²=（x-1）²+（4-y）²
将y=-x²+2x+3代入可得：x=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
∴y=$\frac{5-\sqrt{5}}{5}$；
∴P₂（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{5}$）．
综上所述：符合题意的P点坐标为：（2，3），（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{5}$）；

（3）存在，如图，∵MQ⊥NQ，且满足条件的Q点有且只有一个时，
∴由对称性可直接得Q（1，0），
当M在x轴上方，设M₁纵坐标为a，则横坐标为：1+a，
故a=-（1+a）²+2（1+a）+3，
解得：a₁=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$（不合题意舍去），a₂=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，
则1+$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，
故M₁（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）；
当M在x轴下方，设M₁纵坐标为a，则横坐标为：1-a，
故a=-（1-a）²+2（1-a）+3，
解得：a₁=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，a₂=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$（不合题意舍去），
则1-a=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，
故M₂（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$），
综上所述，符合题意M点坐标为：（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$），（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$）．

点评 此题主要考查了二次函数解析式的求法、等腰直角三角形的性质和一元二次方程的解法等知识，（2）（3）题都用到了分类讨论的数学思想，因此考虑问题一定要全面，以免漏解．