已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,以P(1,1)为圆心的⊙P与x轴,y轴分别相切于点M和点N,点F从点M出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,连接PF,过点PE⊥PF交y轴于点E,设点F运动的时间是t秒(t>0)
(1)若点E在y轴的负半轴上(如图所示),求证:PE=PF;
(2)在点F运动过程中,设OE=a,OF=b,试用含a的代数式表示b;
(3)作点F关于点M的对称点F′,经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,连接QE.在点F运动过程中,是否存在某一时刻,使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似?若存在,请直接写出t的值;若不存在,请说明理由.
解答:
证明:(1)如图,连接PM,PN,
∵⊙P与x轴,y轴分别相切于点M和点N,
∴PM⊥MF,PN⊥ON且PM=PN,
∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°,∵PE⊥PF,
∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE,
在△PMF和△PNE中,,∴△PMF≌△PNE(ASA),
∴PE=PF,
(2)解:①当t>1时,点E在y轴的负半轴上,如图,
由(1)得△PMF≌△PNE,∴NE=MF=t,PM=PN=1,
∴b=OF=OM+MF=1+t,a=NE﹣ON=t﹣1,
∴b﹣a=1+t﹣(t﹣1)=2,∴b=2+a,
②0<t≤1时,如图2,点E在y轴的正半轴或原点上,
同理可证△PMF≌△PNE,
∴b=OF=OM+MF=1+t,a=ON﹣NE=1﹣t,
∴b+a=1+t+1﹣t=2,
∴b=2﹣a,
(3)如图3,(Ⅰ)当1<t<2时,
∵F(1+t,0),F和F′关于点M对称,
∴F′(1﹣t,0)
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,
∴Q(1﹣t,0)∴OQ=1﹣t,
由(1)得△PMF≌△PNE
∴NE=MF=t,∴OE=t﹣1
当△OEQ∽△MPF∴=∴=,
解得,t=,当△OEQ∽△MFP时,∴=,
=,解得,t=,
(Ⅱ)如图4,当t>2时,
∵F(1+t,0),F和F′关于点M对称,
∴F′(1﹣t,0)
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,
∴Q(1﹣t,0)∴OQ=t﹣1,
由(1)得△PMF≌△PNE ∴NE=MF=t,∴OE=t﹣1
当△OEQ∽△MPF∴=∴=,无解,
当△OEQ∽△MFP时,∴=,=,解得,t=2±,
所以当t=,t=,t=2±时,使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似.
科目:初中数学 来源: 题型:
某学校为了解学生体能情况,规定参加测试的每名学生从“立定跳远”,“耐久跑”,“掷实心球”,“引体向上”四个项目中随机抽取两项作为测试项目.
(1)小明同学恰好抽到“立定跳远”,“耐久跑”两项的概率是多少?
(2)据统计,初二三班共12名男生参加了“立定跳远”的测试,他们的成绩如下:
95 100 90 82 90 65 89 74 75 93 92 85
①这组数据的众数是 ,中位数是 ;
②若将不低于90分的成绩评为优秀,请你估计初二年级180名男生中“立定跳远”成绩为优秀的学生约为多少人.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图).
(1)求证:AC=BD;
(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆O到直线AB的距离为6,求AC的长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
如图,已知四边形ABCD为等腰梯形,AD//BC,AB=CD,E为CD中点,连接AE,且AE=,,∠DAE=30°,作AE⊥AF交BC于F,则BF=( )
A.1 B. C. D.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
园林队在某公园进行绿化,中间休息了一段时间.已知绿化面积(单位:平方米)与工作时间(单位:小时)的函数关系的图象如图所示,则休息后园林队每小时绿化面积为
A.40平方米 B.50平方米
C.80平方米 D.100平方米
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
如图,以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分
线于C,过C作CD⊥AD于D,交AB的延长线于E.
(1)(5分)求证:CD为⊙O的切线.
(2)(4分)若,求cos∠DAB.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com