Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=30°，AB=10，点D在线段AB上，AD=2．点P，Q以相同的速度从D点同时出发，点P沿DB方向运动，点Q沿DA方向到点A后立刻以原速返回向点B运动．以PQ为直径构造⊙O，过点P作⊙O的切线交折线AC﹣CB于点E，将线段EP绕点E顺时针旋转60°得到EF，过F作FG⊥EP于G，当P运动到点B时，Q也停止运动，设DP=m．

（1）当2＜m≤8时，AP=，AQ=．（用m的代数式表示）

（2）当线段FG长度达到最大时，求m的值；

（3）在点P，Q整个运动过程中，

①当m为何值时，⊙O与△ABC的一边相切？

②直接写出点F所经过的路径长是．（结果保留根号）

Answer 1

【答案】（1）2+m，m﹣2;（2）m=5.5;（3）①当m=1或4或10﹣时，⊙O与△ABC的边相切．②点F的运动路径的长为+．

【解析】

试题（1）根据题意可得AP=2+m，AQ=m2.
（2）如图1中在Rt△EFG中,

推出所以当点E与点C重合时，PE的值最大，求出此时EP的长即可解决问题．
（3）①当 (Q在往A运动)时，如图2中，设切AC于H，连接OH.

当(Q从A向B运动)时,则PQ=(2+m)(m2)=4，如图3中，设切AC于H.连接OH.如图4中，设切BC于N，连接ON.

分别求解即可．
②如图5中,点F的运动轨迹是F1→F2→B.分别求出即可解决问题．

试题解析：(1)当时，AP=2+m，AQ=m2.

故答案为2+m，m2.

(2)如图1中，

在Rt△EFG中,

∴当点E与点C重合时，PE的值最大，

易知此时

∴m=5.5

(3)①当 (Q在往A运动)时，如图2中，设切AC于H，连接OH.

则有AD=2DH=2，

∴DH=DQ=1，即m=1.

当(Q从A向B运动)时,则PQ=(2+m)(m2)=4，

如图3中，设切AC于H.连接OH.

则AO=2OH=4，AP=4+2=6，

∴2+m=6，

∴m=4.

如图4中，设切BC于N，连接ON.

在Rt△OBN中,

综上所述,当m=1或4或时，O与△ABC的边相切。

②如图5中,点F的运动轨迹是F1→F2→B.

易知

为定值，

∴点F的第二段的轨迹是线段

在中,

∴点F的运动路径的长为