Question

如下图，已知直线l₁∥l₂，l₃、l₄和l₁、l₂分别交于点A、B、C、D，点P在直线l₃或l₄上且不与点A、B、C、D重合。记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3。
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明；
（4）若点P在C、D两点外侧运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系。

Answer 1

解：（1）证明：过P作PQ∥l₁∥l₂，
由两直线平行，内错角相等，可得：
∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPE+∠QPF，
∴∠3=∠1+∠2。
（2）∠3=∠2﹣∠1；
证明：过P作直线PQ∥l₁∥l₂，
则：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPF﹣∠QPE，
∴∠3=∠2﹣∠1。

（3）∠3=360°﹣∠1﹣∠2。
证明：过P作PQ∥l₁∥l₂；
同（1）可证得：∠3=∠CEP+∠DFP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，
即∠3=360°﹣∠1﹣∠2。
（4）过P作PQ∥l₁∥l₂；
①当P在C点上方时，
同（2）可证：∠3=∠DFP﹣∠CEP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠DFP﹣∠CEP+∠2﹣∠1=0，
即∠3=∠1﹣∠2。
②当P在D点下方时，
∠3=∠2﹣∠1，解法同上。
综上可知：当P在C点上方时，∠3=∠1﹣∠2，
当P在D点下方时，∠3=∠2﹣∠1。