【题目】如图1,在正方形中,,点是对角线上任意一点(不与、重合),点是的中点,连接,过点作交直线于点.
初步感知:当点与点重合时,比较: (选填“”、“”或“”).
再次感知:如图1,当点在线段上时,如何判断和数量关系呢?
甲同学通过过点分别向和作垂线,构造全等三角形,证明出;
乙同学通过连接,证明出,,从而证明出.
理想感悟:如图2,当点落在线段上时,判断和的数量关系,并说明理由.
拓展应用:连接,并延长交直线于点.
(1)当时,如图3,直接写出的面积为 ;
(2)直接写出面积的取值范围 .
【答案】初步感知:=;理想感悟:PE=PC,理由见解析;拓展应用:(1);(2)0<S≤.
【解析】
初步感知:当点P与点O重合时,则点E与点B重合,根据正方形的性质即可得到结论;
理想感悟:PE=PC,过P作GH⊥AB于G,交CD于H,由“AAS”可证△EGP≌△PHC,可得结论;
拓展应用:(1)同理作辅助线可知△EGP≌△PHC,证明△DPF∽△BPA,根据相似三角形相似比等于对应高的比得:,计算PH=,PG=,然后求出AE的长,根据三角形面积公式可得结论;
(2)设PH=x,则PG=9-x,结合之前所得的结论列出S的函数关系式,利用二次函数的性质求得S的取值范围即可.
解:初步感知:当点P与点O重合时,则点E与点B重合,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°,
∵点O是BD的中点,
∴OC=OB=BD,
即:PC=PE,
故答案为:=;
理想感悟:PE=PC,理由如下:
如图2,过P作GH⊥AB于G,交CD于H,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥CD,∠ABD=45°,∠A=∠ABC=90°,
∵GH⊥AB,
∴GH⊥CD,
∴∠EGP=∠PHC=90°,
∴∠GEP+∠GPE=90°,
∵PE⊥PC,
∴∠EPC=90°,
∴∠GPE+∠CPH=90°,
∴∠GEP=∠CPH,
∵∠ABD=45°,∠EGP=90°,
∴△BGP是等腰直角三角形,
∴BG=GP,
∵∠EGP=∠PHC=∠ABC=90°,
∴四边形BGHC为矩形,
∴BG=CH,
∴CH=GP,
在△EGP与△PHC中,
∴△EGP≌△PHC(AAS),
∴PE=PC;
拓展应用:(1)如图,过P作GH⊥AB于G,交CD于H,
由题意可知△EGP≌△PHC,
则EG=PH,
∵∠AGP=∠PHD=∠ADC=90°,
∴四边形AGHD为矩形,
∴AG=DH,
∵∠BDC=45°,∠PHD=90°,
∴△PHD是等腰直角三角形,
∴DH=PH,
∵,
∴,
∵DC=AB,
∴,
∵AB∥CD,
∴△DFP∽△BAP,
∴,
又∵GH=AD=9,
∴PH=,PG=,
∴EG=DH=PH=,
∴AG=DH=,
∴AE=AG+GE=,
∴S△APE=,
故△APE的面积为:,
(2)设PH=x,则PG=9-x,
由题意可知:AG=EG=DH=PH=x,
则S=
∵0<x<9,
∴0<S≤,
故答案为:0<S≤.
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【题目】在下列正多边形中,是中心,定义:为相应正多边形的基本三角形.如图1,是正三角形的基本三角形;如图2,是正方形的基本三角形;如图3,为正边形…的基本三角形.将基本绕点逆时针旋转角度得.
(1)若线段与线段相交点,则:
图1中的取值范围是________;
图3中的取值范围是________;
(2)在图1中,求证
(3)在图2中,正方形边长为4,,边上的一点旋转后的对应点为,若有最小值时,求出该最小值及此时的长度;
(4)如图3,当时,直接写出的值.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,OD⊥AC于点D,过点A作⊙O的切线AP,AP与OD的延长线交于点P,连接PC、BC.
【1】猜想:线段OD与BC有何数量和位置关系,并证明你的结论.
【2】求证:PC是⊙O的切线
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【题目】中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为7062.68米.某天该深潜器在海面下1800米处作业(如图),测得正前方海底沉船C的俯角为45°,该深潜器在同一深度向正前方直线航行2000米到B点,此时测得海底沉船C的俯角为60°.请判断沉船C是否在“蛟龙”号深潜极限范围内?并说明理由;(精确到0.01)(参考数据:≈1.414,≈1.732)
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【题目】如图,中,,过点作的平行线与的平分线交于点,连接.
(1)求证:四边形是菱形;
(2)连接与交于点,过点作的延长线交于点,连接,若,,直接写出的长为 .
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【题目】如图,已知点C处有一个高空探测气球,从点C处测得水平地面上A,B两点的俯角分别为30°和45°.若AB=2km,则A,C两点之间的距离为_____km.
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【题目】如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,AD=4,BC=3.分别以点A,C为圆心,大于AC长为半径作弧,两弧交于点E,射线BE交AD于点F,交AC于点O.若点O恰好是AC的中点,则CD的长为__.
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【题目】已知四边形ABCD是平行四边形,AD=BD,过点D作DE⊥AB于点E,过点A作AH⊥BD于点H,交DE、BC分别于点F、G,连接CF.
(1)如图1,求证:∠BAG=∠FCB;
(2)如图2,过点A作AK平分∠DAF交ED于点K,若AK=1,∠FCD=45°,求DF的长;
(3)如图3,若AD=10,DH=6,求CF的长.
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(﹣1,0),且满足4a+2b+c>0,有下列结论:①a+b>0;②﹣a+b+c>0;③b2﹣2ac>5a2.其中,正确结论的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
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