Question

【题目】△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，过AB上一点D作DE‖BC，DF‖AC分别交AC、BC于点E和F

（1）如图1，证明：△ADE∽△DBF；

（2）如图1，若四边形DECF是菱形，求DE的长；

（3）如图2，若以D、E、F为顶点的三角形与△BDF相似，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DE的长为；（3）AD的长为或．

【解析】

（1）根据平行线的性质得∠ADE＝∠B，∠A＝∠BDF，则根据相似三角形的判定方法可判断△ADE∽△DBF；

（2）设DE＝x，利用菱形的性质得DE＝DF＝CF＝CE＝x，则AE＝5﹣x，BF＝6﹣x，根据相似三角形的性质得＝，即＝，然后利用相似比的性质求出x即可；

（3）设AD＝AE＝t，则CE＝5﹣t，先判断四边形DECF为平行四边形，所以DF＝CE＝5﹣t，DE＝CF，利用平行线分线段成比例的性质可表示出DE＝t，则CF＝t，BF＝6﹣t，由于∠EDF＝∠BFD，根据相似三角形的判定方法，当＝，△EDF∽△BFD，即BF＝DE，6﹣t＝t；当＝，△EDF∽△DFB，即＝，然后利用比例性质分别求出t即可．

（1）证明：∵DE‖BC，DF‖AC，

∴∠ADE＝∠B，∠A＝∠BDF，

∴△ADE∽△DBF；

（2）解：设DE＝x，

∵四边形DECF是菱形，

∴DE＝DF＝CF＝CE＝x，

∴AE＝5﹣x，BF＝6﹣x，

∵△ADE∽△DBF，

∴＝，即＝，解得x＝，

即DE的长为；

（3）解：设AD＝AE＝t，则CE＝5﹣t，

∵DE‖BC，DF‖AC，

∴四边形DECF为平行四边形，

∴DF＝CE＝5﹣t，DE＝CF，

∵DE∥BC，

∵＝，即＝，则DE＝t，

∴CF＝t，

∴BF＝6﹣t，

∵∠EDF＝∠BFD，

∴当＝，△EDF∽△BFD，即BF＝DE，6﹣t＝t，解得t＝；

当＝，△EDF∽△DFB，即＝，解得t＝5（舍去）或t＝，

综上所述，AD的长为或．