Question

（2011•广元）如图，抛物线y=ax²+2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（﹣4，0）和B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CEQ的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（﹣2，0）．问是否有直线l，使△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意，得：，
解得：，
∴所求抛物线的解析式为：y=﹣x²﹣x+4．
（2）设点Q的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G．

由﹣x²﹣x+4=0，
得x₁=2，x₂=﹣4，
∴点B的坐标为（2，0），
∴AB=6，BQ=2﹣m，
∵QE∥AC，
∴△BQE∽△BAC，
∴，
即，
∴EG=（2﹣m），
∴S_△CQE=S_△CBQ﹣S_△EBQ
=BQ•CO﹣BQ•EG
=（2﹣m）[4﹣（2﹣m）]
=﹣（m+1）²+3
又∵﹣4≤m≤2，
∴当m=﹣1时，S_△CQE有最大值3，此时Q（﹣1，0）．
（3）存在．在△ODF中．

（ⅰ）若DO=DF，
∵A（﹣4，0），D（﹣2，0）
∴AD=OD=DF=2，
又在Rt△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，
∴∠DFA=∠OAC=45°，
∴∠ADF=90°．
此时，点F的坐标为（﹣2，2）
由﹣x²﹣x+4=2，
得x₁=﹣1+，x₂=﹣1﹣，
此时，点P的坐标为：P（﹣1+，2）或P（﹣1﹣，2）．

（ⅱ）若FO=FD，过点F作FM⊥x轴于点M
由等腰三角形的性质得：OM=OD=1，
∴AM=3，
∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3，
∴F（﹣1，3）
由﹣x²﹣x+4=3，
得x₁=﹣1+，x₂=﹣1﹣，
此时，点P的坐标为：P（﹣1+，3）或P（﹣1﹣，3）．
（ⅲ）若OD=OF，
∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，
∴AC=4，
∴点O到AC的距离为2，而OF=OD=2＜2，
∴此时不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，
综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，
所求点P的坐标为：P（﹣1+，2）或P（﹣1﹣，2）或P（﹣1+，3）或P（﹣1﹣，3）．

解析