Question

16．如图，一抛物线桥拱的最高点A到水面的距离为p，在水面上截得的距离为q，如图所示，建立平面直角坐标系．
（1）当p=4，q=2时，求抛物线的解析式；
（2）如果在（1）的条件下，将p增加h个单位，q不变，求抛物线的解析式；（用含h的代数式表示）
（3）抛物线y=ax²+bx中的最高点到x轴的距离p增加h个单位，在x轴上截得的距离保持不变，得到抛物线y=cx²+dx，分别求c、d．（用a、b、h的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）根据p、q的值可知其顶点坐标（1，4），设抛物线顶点式，将原点（0，0）代入求解可得；
（2）根据题意知顶点坐标为（1，4+h），设其顶点式y=a（x-1）²+4+h，将原点（0，0）代入后用含h的代数式表示a即可得；
（3）分别求出y=ax²+bx顶点M、y=cx²+dx的顶点N，根据题意知M_x=N_x、M_y+h=N_y，联立方程求解可得c、d．

解答 解：（1）当p=4，q=2时，抛物线的顶点坐标为（1，4），
设抛物线解析式为y=a（x-1）²+4，
将原点（0，0）代入得：a+4=0，
解得：a=-4，
故抛物线解析式为：y=-4（x-1）²+4；

（2）根据题意知此时抛物线顶点坐标为（1，4+h），
设抛物线解析式为：y=a（x-1）²+4+h，
将原点（0，0）代入，得：a+4+h=0，
解得：a=-（h+4），
故抛物线解析式为：y=-（h+4）（x-1）²+4+h；

（3）∵抛物线y=ax²+bx的顶点坐标为（-$\frac{b}{2a}$，-$\frac{{b}^{2}}{4a}$），
抛物线y=cx²+dx的顶点坐标为（-$\frac{d}{2c}$，-$\frac{{d}^{2}}{4c}$），
∴由题意可知，-$\frac{d}{2c}$=-$\frac{b}{2a}$，即$\frac{d}{c}$=$\frac{b}{a}$ ①，
-$\frac{{d}^{2}}{4c}$=-$\frac{{b}^{2}}{4a}$+h，即$\frac{{d}^{2}}{c}=\frac{{b}^{2}}{a}-4h$ ②，
由①②可得：c=$\frac{a{b}^{2}-4{a}^{2}h}{{b}^{2}}$，d=$\frac{{b}^{2}-4ah}{b}$．

点评 本题主要考查二次函数的应用能力，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式及抛物线顶点间的联系是解题的关键．