Question

2．如图，矩形ABOD的两边OB，OD都在坐标轴的正半轴上，OD=4，另两边与一次函数y=-2x+b的图象分别相交于点E，F，且DE=2，过点E作EH⊥轴于点H，过点F作FG⊥EH于点G．
（1）求一次函数的解析式；
（2）当四边形BHGF为正方形时，点F的坐标；
（3）是否存在矩形BHGF与矩形DOHE相似情形？若存在，求出相似比；若不存在，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABOD为矩形，OD=4，DE=2，得出E点坐标为（2，4），代入一次函数y=-2x+b，求出b=8，即可得出一次函数的解析式；
（2）设正方形BHGF的边长为a，则GH=HB=BF=a，得出F点坐标为（2+a，a），代入y=-2x+8，求出a=$\frac{4}{3}$，即可得出F点坐标；
（3）矩形BHGF与矩形DOHE能相似，分两种情况：①FG：OD=BF：DE，即$\frac{FG}{BF}$=$\frac{OD}{DE}$=2，设FG=2t，则BF=t，则F点坐标为（2+2t，t），代入y=-2x+8，求出t=$\frac{4}{5}$，得出FG=$\frac{8}{5}$，即可求出相似比=$\frac{FG}{OD}$；②FB：OD=FG：DE，即$\frac{FB}{FG}$=$\frac{OD}{DE}$=2，设FB=2t，则FG=t，则F点坐标为（2+t，2t），代入y=-2x+8，求出t=1，得出FG=2，即可求出相似比=$\frac{FG}{OD}$．

解答 解：（1）∵四边形ABOD为矩形，EH⊥x轴，OD=4，DE=2，
∴E点坐标为（2，4），
∴4=-2×2+b，
解得：b=8，
∴一次函数的解析式为y=-2x+8；
（2）设正方形BHGF的边长为a，则GH=HB=BF=a，
∴F点坐标为（2+a，a），
把F（2+a，a）代入y=-2x+8，得a=-2（2+a）+8，
解得：a=$\frac{4}{3}$，
∴F点坐标为（$\frac{10}{3}$，$\frac{4}{3}$）；
（3）矩形BHGF与矩形DOHE能相似．
∵矩形BHGF与矩形DOHE能相似，分两种情况：
①FG：OD=BF：DE，
∴$\frac{FG}{BF}$=$\frac{OD}{DE}$=2，
设FG=2t，则BF=t，
∴F点坐标为（2+2t，t），
把F（2+2t，t）代入y=-2x+8，得t=-2（2+2t）+8，
解得：t=$\frac{4}{5}$，
∴FG=$\frac{8}{5}$，
相似比=$\frac{FG}{OD}$=$\frac{\frac{8}{5}}{4}$=$\frac{2}{5}$；
②FB：OD=FG：DE，
∴$\frac{FB}{FG}$=$\frac{OD}{DE}$=2，
设FB=2t，则FG=t，
∴F点坐标为（2+t，2t），
把F（2+t，2t）代入y=-2x+8，得2t=-2（2+t）+8，
解得：t=1，
∴FG=2，
相似比=$\frac{FG}{OD}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$；
综上所述：相似比为1：2或2：5．

点评 本题考查了相似形的性质、一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质的性质、正方形的性质、一元一次方程等知识；熟练掌握图形与坐标的关系是解决问题的关键．