Question

在直角三角形ABC中，∠C=90°，点O为AB上的一点，以点O为圆心，OA为半径的圆弧与BC相切于点D，交AC于点E，连接AD．

（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AE=2，DC=，求圆弧的半径．

Answer 1

（1）根据切线的性质可得OD⊥BC，即得∠ODB=∠C=90°，则可得OD∥AC，根据平行线的性质可得∠ODA=∠CAD，根据圆的基本性质可得∠ODA=∠OAD，问题得证；（2）2

试题分析：（1）根据切线的性质可得OD⊥BC，即得∠ODB=∠C=90°，则可得OD∥AC，根据平行线的性质可得∠ODA=∠CAD，根据圆的基本性质可得∠ODA=∠OAD，问题得证；
（2）过O作OH⊥AC于H，根据垂径定理可得，由OD∥AC，OH⊥AC，∠C=90°可求得OH=DC=，在Rt△ABC中，根据勾股定理即可求得结果.
（1）∵OA为半径的圆弧与BC相切于点D
∴OD⊥BC
∴∠ODB=∠C=90°
∴OD∥AC
∴∠ODA=∠CAD
又∵OA=OD
∴∠ODA=∠OAD
∴∠CAD=∠OAD
∴AD平分∠BAC；
（2）过O作OH⊥AC于H

∴
∵OD∥AC，OH⊥AC，∠C=90°，
∴OH=DC=
∴在Rt△ABC中，圆弧的半径OA=．
点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.