【题目】定义:在平面直角坐标系xOy中,直线y=a(x﹣m)+k称为抛物线y=a(x﹣m)2+k的关联直线.
(1)求抛物线y=x2+6x﹣1的关联直线;
(2)已知抛物线y=ax2+bx+c与它的关联直线y=2x+3都经过y轴上同一点,求这条抛物线的表达式;
(3)如图,顶点在第一象限的抛物线y=﹣a(x﹣1)2+4a与它的关联直线交于点A,B(点A在点B的左侧),与x轴负半轴交于点C,连结AC、BC.当△ABC为直角三角形时,求a的值.
【答案】(1)y=x+3﹣10=x﹣7;(2)y=2x2+3或y=2(x+1)2+1;(3)a=1或a=.
【解析】
(1)先将抛物线的解析式化为顶点式,然后根据关联直线的定义即可得出答案;
(2)由题意可得a=2,c=3,设抛物线的顶点式为y=2(x-m)2+k,可得,可求m和k的值,即可求这条抛物线的表达式;
(3)由题意可得A(1,4a),B(2,3a),C(-1,0),可求AB2=1+a2,BC2=9+9a2,AC2=4+16a2,分BC,AC为斜边两种情况讨论,根据勾股定理可求a的值.
解:(1)∵y=x2+6x﹣1=(x+3)2﹣10,
∴关联直线为y=x+3﹣10=x﹣7;
(2)∵抛物线y=ax2+bx+c与它的关联直线y=2x+3都经过y轴上同一点,
∴a=2,c=3,
可设抛物线的顶点式为y=2(x﹣m)2+k,
则其关联直线为y=2(x﹣m)+k=2x﹣2m+k,
∴,
解得或,
∴抛物线解析式为y=2x2+3或y=2(x+1)2+1;
(3)由题意:A(1,4a)B(2,3a)C(﹣1,0),
∴AB2=1+a2,BC2=9+9a2,AC2=4+16a2,
显然AB2<BC2 且AB2<AC2,故AB不能成为△ABC的斜边,
当AB2+BC2=AC2时:1+a2+9+9a2=4+16a2解得a=±1,
当AB2+AC2=BC2时:1+a2+4+16a2=9+9a2解得a=,
∵抛物线的顶点在第一象限,
∴a>0,即a=1或a=.
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【题目】某地计划用120﹣180天(含120与180天)的时间建设一项水利工程,工程需要运送的土石方总量为360万米3.
(1)写出运输公司完成任务所需的时间y(单位:天)与平均每天的工作量x(单位:万米3)之间的函数关系式,并给出自变量x的取值范围;
(2)由于工程进度的需要,实际平均每天运送土石比原计划多5000米3,工期比原计划减少了24天,原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3?
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【题目】如图所示,已知抛物线y=ax2(a≠0)与一次函数y=kx+b的图象相交于A(﹣1,﹣1),B(2,﹣4)两点,点P是抛物线上不与A,B重合的一个动点,点Q是y轴上的一个动点.
(1)请直接写出a,k,b的值及关于x的不等式ax2<kx﹣2的解集;
(2)当点P在直线AB上方时,请求出△PAB面积的最大值并求出此时点P的坐标;
(3)是否存在以P,Q,A,B为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出P,Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,直角△ABC中,∠BAC=90°,D在BC上,连接AD,作BF⊥AD分别交AD于E,AC于F.
(1)如图1,若BD=BA,求证:△ABE≌△DBE;
(2)如图2,若BD=4DC,取AB的中点G,连接CG交AD于M,求证:①GM=2MC;②AG2=AFAC.
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴为直线x=﹣1,下列结论正确的有_____(填序号).
①若图象过点(﹣3,y1)、(2,y2),则y1<y2;
②ac<0;
③2a﹣b=0;
④b2﹣4ac<0.
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【题目】“滑块铰链”是一种用于连接窗扇和窗框,使窗户能够开启和关闭的连杆式活动链接装置(如图1).图2是“滑块铰链”的平面示意图,滑轨MN安装在窗框上,悬臂DE安装在窗扇上,支点B、C、D始终在一条直线上,已知托臂AC=20厘米,托臂BD=40厘米,支点C,D之间的距离是10厘米,张角∠CAB=60°.
(1)求支点D到滑轨MN的距离(精确到1厘米);
(2)将滑块A向左侧移动到A′,(在移动过程中,托臂长度不变,即AC=A′C′,BC=BC′)当张角∠C′A'B=45°时,求滑块A向左侧移动的距离(精确到1厘米).(备用数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45,≈2.65)
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【题目】如图,某兴趣小组用无人机进行航拍测高,无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B点垂直起飞到高度为50米的A处,测得1号楼顶部E的俯角为60°,测得2号楼顶部F的俯角为45°.已知1号楼的高度为20米,则2号楼的高度为_____米(结果保留根号).
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【题目】△ABC是一张等腰直角三角形纸板,∠C=Rt∠,AC=BC=2,
(1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形,有甲、乙两种剪法(如图1),比较甲、乙两种剪法,哪种剪法所得的正方形面积大?请说明理由.
(2)图1中甲种剪法称为第1次剪取,记所得正方形面积为s1;按照甲种剪法,在余下的△ADE和△BDF中,分别剪取正方形,得到两个相同的正方形,称为第2次剪取,并记这两个正方形面积和为s2(如图2),则s2=;再在余下的四个三角形中,用同样方法分别剪取正方形,得到四个相同的正方形,称为第3次剪取,并记这四个正方形面积和为s3,继续操作下去…,则第10次剪取时,s10=;
(3)求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面积之和.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,1),B(-1,4),C(-3,2).
(1)画出△ABC关于点B成中心对称的图形△A1BC1;
(2)以原点O为位似中心,相似比为1∶2,在y轴的左侧,画出△ABC放大后的图形△A2B2C2,并直接写出点C2的坐标.
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