Question

4．梯形ABCD中，DC∥AB，DC=3，AB=4，E是DA的黄金分割点，且EF∥AB，则EF=$\frac{\sqrt{5}+5}{2}$．

Answer 1

分析 先由E是DA的黄金分割点，且DE＞EA，根据黄金分割的定义得出$\frac{DE}{DA}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．再证明DC∥EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理得出$\frac{CF}{CB}$=$\frac{DE}{DA}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．过D作DM⊥AB于M，交EF于G，过C作CN⊥AB于N，交EF于H，则MN=GH=DC=3，AM+BN=AB-CD=1．根据平行线分线段成比例定理得出$\frac{EG}{AM}$=$\frac{DE}{DA}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，那么EG=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AM，HF=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$BN，然后根据EF=EG+GH+HF即可求解．

解答 解：∵E是DA的黄金分割点，DE＞EA，
∴$\frac{DE}{DA}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
∵DC∥AB，EF∥AB，
∴DC∥EF∥AB，
∴$\frac{CF}{CB}$=$\frac{DE}{DA}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
过D作DM⊥AB于M，交EF于G，过C作CN⊥AB于N，交EF于H，则MN=GH=DC=3，AM+BN=AB-CD=1．
∵EG∥AM，
∴$\frac{EG}{AM}$=$\frac{DE}{DA}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴EG=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AM，
同理，HF=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$BN，
∴EG+HF=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（AM+BN）=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴EF=EG+GH+HF=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$+3=$\frac{\sqrt{5}+5}{2}$．
故答案为$\frac{\sqrt{5}+5}{2}$．

点评 本题考查了黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．也考查了梯形的性质，平行线分线段成比例定理．