Question

18．如图，⊙O的半径OC与直径AB垂直，点P在OB上，CP的延长线交⊙O于点D，在OB的延长线上取点E，使ED=EP．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）当P为OE的中点，且OC=4时，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）首先连接OD，ED=EP，易证得∠APD=∠ADP，又由⊙O的半径OC与直径AB垂直，可证得OD⊥ED，即可判定ED是⊙O的切线；
（2）由S_阴影=S_△ODE-S_扇形，即可求得答案．

解答 （1）证明：连接OD，
∵OD是圆的半径，
∴OD=OC．
∴∠CDO=∠DCO．
∵OC⊥AB，
∴∠COP=90°，
∵在Rt△OPC中，∠CPO+∠PCO=90°，
∵ED=EP，
∴∠EDP=∠EPD=∠CPO，
∴∠EDO=∠EDP+∠CDO=∠CPO+∠DCO=90°．
∴ED⊥OD，
即ED是圆的切线；

（2）解：∵P为OE的中点，ED=EP，且由（1）知△ODE为Rt△，
∴PE=PD=ED，
∴∠E=60°，
∵OD=OC=4，
∴ED=$\frac{OD}{tan60°}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴S_阴影=S_△ODE-S_扇形=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-$\frac{30π×{4}^{2}}{360}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$-$\frac{4π}{3}$=$\frac{8\sqrt{3}-4π}{3}$．

点评 此题考查了切线的判定以及扇形面积的求解．注意准确作出辅助线是解此题的关键．