Question

如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，DF是⊙O的切线与BC的延长线交于点F，AE=2，ED=4，下列结论：①△ABE∽△ABD；②AB=2

3

；③tan∠ADB=

3

3

；④△DEF是正三角形；⑤弧AB的长=

3

3

π．其中正确的个数为（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：①由于A是弧BC的中点，故∠ADB=∠ABC，再加上公共角∠A，即可证得所求的三角形相似．
②根据△ABE∽△ADB，可知其对应边成比例，再由AE=2，ED=4即可求出答案．
③由（1）的相似三角形所得比例线段，可求得AB的长，进而可在Rt△ABD中，求得∠ABD的正切值．
④连接CD，由RT△BAD的边可得∠ADB=30°，再由点A是弧BC的中点，可得∠ADB=∠EDC=30°，从而得出∠CED=60°；再利用DF是⊙O的切线，得出∠EDF=60°，即可得出△DEF是正三角形．
⑤由RT△BAD的边角关系，可得出BD=4

3

，从而得出圆的半径，由∠BOA=60°，根据弧长公式即可求解．

解答：证明：①∵点A是弧BC的中点，
∴∠ABC=∠ADB，
又∵∠BAE=∠BAE，
∴△ABE∽△ADB．故①正确，
②∵△ABE∽△ADB，
∴

AB

AD

=

AE

AB

，
∴AB²=AD•AE=（AE+ED）•AE=（2+4）×2=12，
∴AB=2

3

．故②正确，
③∵AB=2

3

，
在Rt△ADB中，tan∠ADB=

AB

AD

=

2 3

6

=

3

3

．故③正确
④如图，连接CD，则∠BCD=90°；

由AB=2

3

，AD=6，∠BAD=90°，得∠ADB=30°，
∵点A是弧BC的中点，
∴∠ADB=∠EDC=30°，
∴∠CED=60°；
∵DF是⊙O的切线，
∴∠EDF=60°，
∴∠EFD=60°，
∴△DEF是正三角形；故④正确，
⑤∵AB=2

3

，AD=6，∠BAD=90°，
∴BD=4

3

，
∴r=2

3

，
∵∠BOA=60°，
∴l=

60π×2 3

180

=

2 3

3

，故⑤错误．
正确的个数为4个．
故选：C．

点评：此题主要考查了圆的综合题，涉及相似三角形的判定和性质、圆周角定理、圆心角、弧的关系、等边三角形的判定和性质等知识，难度适中．