Question

已知二次函数y=mx²+nx+p 图象的顶点横坐标是2 ，与x 轴交于A （x₁ ，0 ）、B （x₂，0 ），x₁＜0＜x₂，与y 轴交于点C，O为坐标原点，tan ∠CAO-tan ∠CBO=1。
（1）求证：n+4m=0 ；
（2）求m 、n的值；
（3）当p＞0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，求二次函数的最大值。

Answer 1

解：（1）将2 代入顶点横坐标得：                
∴n+4m=0                                      
（2） ∵已知二次函数图象与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0），且由（1）知n=-4m
∴，                           
∵ x₁<0<x₂，
∴在Rt△ACO中，tan∠CAO=                 
在Rt△CBO中，tan∠CBO=              
∵，  
∴            
∵x₁<0<x₂，
∴OC=|p|≠0 
∴ 
 即
∴    
∴p=-4m|p|                       
①当p>0时，，此时，n=1                                
②当p<0时，， 此时，n=-1                          
（3）当p>0时，二次函数的表达式为：          
∵二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点 
∴方程组仅有一个解
∴一元二次方程即有两个相等根  
∴
解得：p=3                   
此时二次函数的表达式为：
∵，
∴y有最大值4。