Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB ，垂足为H，连接AC，过上一点E作 EG∥AC 交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG=FG ．

（1）求证：EG是 ⊙O 的切线；

（2）延长AB交GE的延长线于点M ，若tanG=，AH=2，求 EM 的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】分析：（1）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；

（2）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明△AHC∽△MEO，可得，由此即可解决问题.

详解：（1）如图，连接OE，

∵GF=GE，

∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，

∵OA=OE，

∴∠OAE=∠OEA，

∵AB⊥CD，

∴∠AFH+∠FAH=90°，

∴∠GEF+∠AEO=90°，

∴∠GEO=90°

∴GE⊥OE，

∴EG是⊙O的切线；

（2）如图，连接OC．

设⊙O的半径为r,

在Rt△AHC中，tan∠ACH=tan∠G=，

∵AH=2，

∴HC=4，

在Rt△HOC中，

∵OC=r，OH=r-2，HC=4，

∴，

∴r=5，

∵GM∥AC，

∴∠CAH=∠M,

∵∠OEM=∠AHC,

∴△AHC∽△MEO

∴，

∴ ，

∴EM=．