Question

7．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=x²+bx+c与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（-3，0），点C为抛物线与y轴的交点．
（1）求点B的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）若点P在抛物线上，且S_△POC=4S_△BOC，求点P的坐标；
（4）设点Q为线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

Answer 1

分析 （1）由A点坐标，结合对称轴为x=-1，根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；
（2）把A、B两点坐标代入，根据待定系数法可求得抛物线解析式；
（3）由抛物线解析式可求得C点坐标，然后设P点坐标为（x，x²+2x-3），根据S_△POC=4S_△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；
（4）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-x-3，再设Q点坐标为（x，-x-3），则D点坐标为（x，x²+2x-3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．

解答 解：
（1）∵对称轴为直线x=-1的抛物线y=x²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，
∴A、B两点关于直线x=-1对称，
∵点A的坐标为（-3，0），
∴点B的坐标为（1，0）；
（2）∵抛物线y=x²+bx+c的对称轴为直线x=-1，
∴-$\frac{b}{2}$=-1，解得b=2．
将B（1，0）代入y=x²+2x+c，
得1+2+c=0，解得c=-3．
则二次函数的解析式为y=x²+2x-3；
（3）由（2）可知C（0，-3），
∴OC=3，
设P点坐标为（x，x²+2x-3），
∵S_△POC=4S_△BOC，
∴$\frac{1}{2}$×3×|x|=4×$\frac{1}{2}$×3×1，
∴|x|=4，x=±4．
当x=4时，x²+2x-3=16+8-3=21；
当x=-4时，x²+2x-3=16-8-3=5．
∴点P的坐标为（4，21）或（-4，5）；
（4）设直线AC的解析式为y=kx+t   （k≠0）将A（-3，0），C（0，-3）代入，
得 $\left\{\begin{array}{l}{-3k+t=0}\\{t=-3}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{t=-3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-x-3．
设Q点坐标为（x，-x-3）（-3≤x≤0），则D点坐标为（x，x²+2x-3），
QD=（-x-3）-（x²+2x-3）=-x²-3x=-（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴当x=-$\frac{3}{2}$时，QD有最大值$\frac{9}{4}$．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、一次函数的解析式、二次函数的性质、三角形面积、线段长度问题、方程思想等知识．在（1）中注意利用二次函数的对称性，在（2）中注意待定系数法的应用步骤，在（3）中用P点坐标表示出△POC的面积是解题的关键，在（4）中用Q点的坐标表示出QD的长度是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．