Question

已知直线y=x+6的图象与x轴、y轴交于A、B两点，且与反比例函数y=

m

x

（m≠0）的图象在第一象限交于C点，且C点横坐标为2．
（1）写出A、B两点的坐标及m的值；
（2）将一块三角板的直角顶点放在线段AB的中点D处，将三角板绕点D旋转，三角板的两直角边分别与线段OB、OA交于E、F两点，连接EF．试证明：BE²+AF²=EF²；
（3）在（2）中若三角板的两直角边分别与射线OB、OA交与E、F两点．三角板绕点D旋转时，△BDE能否成为等腰三角形，若能指出所有情况的E点的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：代数几何综合题,分类讨论

分析：（1）根据一次函数解析式求出A、B的坐标，将C点横坐标代入解析式，求出C点纵坐标，得到C点坐标，将C点坐标代入y=

m

x

（m≠0）即可求出m的值；
（2）作DG⊥y轴，DH⊥x轴，设FH=CE=a，利用勾股定理得到BE²+AF²=（3+a）²+（3-a）²=18+2a²；FE²=FD²+DE²=FH²+DH²+DG²+EG²=a²+3²+a²+3²=18+2a²；从而得到BE²+AF²=EF²；
（3）将三角形旋转，得到三种情况，画出图形，分别进行计算．

解答：解：（1）当x=0时，y=6，当y=0时，x=-6，
则A（-6，0），B（0，6），
将x=2代入y=x+6的得，y=8，
则C点坐标为（2，8）．
将（2，8）代入解析式y=

m

x

得，m=16．

（2）如图：作DG⊥y轴，DH⊥x轴，
∵D为AB中点，
∴DH=3，DG=3，
易得，△DFH≌△DEG，
∴FH=CE，
设FH=CE=a，
∵BE²+AF²=（3+a）²+（3-a）²=18+2a²；
FE²=FD²+DE²=FH²+DH²+DG²+EG²=a²+3²+a²+3²=18+2a²；
∴BE²+AF²=EF²．

（3）如图2，BD=BE时，
BE=

1

2

AB=

1

2

×

62+62

=3

2

；
OE=6-3

2

，
E（0，6-3

2

）．

如图3，DE⊥y轴时，△DBE为等腰三角形，
E（0，3）．

如图4，DB=DE时，
∵DB=3

3

，
∴BE=3

3

，
∴E（0，6+3

3

）．

当点E与原点重合时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到DE=BD．
故E（0，0）．

点评：本题是反比例函数综合题，涉及一次函数、三角形等知识，综合性较强，另外分类讨论思想的应用也至关重要．