Question

12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D是弧ABC的中点，过点D作DF⊥CB交CB的延长线于点F，连接BD，当DF=2，BF=1，AD=3时，AB的长为1+$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 如图，作DM⊥AB于M．只要证明△BDM≌△BDF，△ADM≌△CDF即可解决问题．

解答 解：如图，作DM⊥AB于M．

∵$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠DAC=∠DCA，AD=DC，
∵∠DBM=∠DCA，∠DBF=∠DAC，
∴∠DBM=∠DBF，∵DM⊥BA，DF⊥BF，
∴DM=DF=2，
在Rt△BDM和Rt△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BD}\\{DM=DF}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△BDF，
∴BM=BF=1，
在Rt△CDF中，CF=$\sqrt{C{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
在Rt△ADM和Rt△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{DM=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△CDF，
∴AM=CF=$\sqrt{5}$，
∴AB=AM+MB=1+$\sqrt{5}$．
故答案为1+$\sqrt{5}$．

点评 本题考查三角形的外接圆、等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是重合添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．