Question

20．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB=2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．
（1）试说明AF与DE互相平分；
（2）若AB=8，BC=12，求DO的长．

Answer 1

分析 （1）结合已知条件推知四边形AEFD是平行四边形，在该平行四边形的两条对角线互相平分；
（2）根据勾股定理求得AC的长度，然后由平行四边形的性质和勾股定理来求DO的长度．

解答 解：（1）∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB且EF=$\frac{1}{2}$AB．
又AB=2AD，即AD=$\frac{1}{2}$AB，
∴AD∥EF，AD=EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AF与DE互相平分；

（2）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，BC=12，
∴由勾股定理得 AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}-{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$
又由（1）知，OA=OF，且AF=CF，
∴OA=$\frac{1}{4}$AC=$\sqrt{5}$．
∴在△AOD中，∠DAO=90°，AD=$\frac{1}{2}$AB=4，OA=$\sqrt{5}$，
∴由勾股定理得 DO=$\sqrt{D{A}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{21}$．

点评 本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质．三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．