Question

【题目】如图1，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，过对角线AC中点O的直线分别交边BC、AD于点E、F

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）如图2，当EF⊥AC时，求EF的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）EF=．

【解析】

（1）证明△AOF≌△COE全等，可得AF=EC，∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形；

（2）由（1）知四边形AECF是平行四边形，且EF⊥AC，∴四边形AECF为菱形，假设BE=a，根据勾股定理求出a，从而得知EF的长度；

解：（1）∵矩形ABCD，∴AF∥EC，AO=CO

∴∠FAO=∠ECO

∴在△AOF和△COE中，，

∴△AOF≌△COE（ASA）

∴AF=EC

又∵AF∥EC

∴四边形AECF是平行四边形；

（2）由（1）知四边形AECF是平行四边形，

∵EF⊥AC，

∴四边形AECF为菱形，

设BE=a，则AE=EC=3-a

∴a2+22=（3-a）2

∴a=

则AE=EC=，

∵AB=2，BC=3，

∴AC==

∴AO=OC=，

∴OE===，

∴EF=2OF=．