Question

如图，已知直线，点A的坐标是（4，0），点D为x轴上位于点A右边的某一点，点B为直线上的一点，以点A、B、D为顶点作正方形．

（1）若图①仅看作符合条件的一种情况，求出所有符合条件的点D的坐标；
（2）在图①中，若点P以每秒1个单位长度的速度沿直线从点O移动到点B，与此同时点Q以相同的速度从点A出发沿着折线A－B－C移动，当点P到达点B时两点停止运动．试探究：在移动过程中，△PAQ的面积最大值是多少？

Answer 1

（1）（7，0）或（16，0）或（28，0）；（2）或3；

试题分析：（1）仔细分析题意，正确画出图形，根据正方形的性质求解即可； 
（2）分①当0＜t≤3时，②当3＜t≤5时，根据三角形的面积公式及二次函数的性质求解.
（1）（7，0）或（16，0）或（28，0）
提示：除已给图外还有两种情况，如下图.
 
（2）①当0＜t≤3时，过点P作PE⊥x轴，垂足为点E．
AQ=OP=t，OE=t，AE=4－t.   
S_△APQ=AQ·AE=t（4－t）=（t－）²+ 
当t=时，S_△APQ的最大值为；
②当3＜t≤5时，过点P作PE⊥x轴，垂足为点E，过点Q作QF⊥x轴，垂足为点F

OP=t，PE=t，OE=t，AE=4－t. 
QF=3，AF=BQ=t－3，EF=AE+AF=1+t  
S_△APQ="S" _梯形PEFQ－S_△PEA－S_△QFA=（PE+QF）·EF－PE·AE－QF·AF
=（t +3）·（1+t）－·t·（4－t）－×3·（t－3）=（t－）²+
∵抛物线开口向上，
∴当t=5时，S_△APQ的最大值为3＞
∴在移动过程中，△PAQ的面积最大值是3.
点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.