Question

如图，以△ABC的边AB、AC为边，向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD相交于点F．
求证：（1）△DAC≌△BAE；
（2）BE=DC；
（3）求∠DFE的度数．

Answer 1

分析：（1）由三角形ABD与三角形ACE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为60°，利用等式的性质得到∠DAC=∠BAE，利用SAS可得出△DAC≌△BAE，得证；
（2）由△DAC≌△BAE，利用全等三角形的对应边相等即可得到BE=DC；
（3）由△DAC≌△BAE，利用全等三角形的对应角相等得到∠ACD=∠AEB，而∠DFE为三角形EFC的外角，利用外角的性质列出关系式，等量代换后即可求出其度数．

解答：解：（1）证明：∵△ABD和△ACE都为等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△DAC≌△BAE（SAS）；
（2）∵△DAC≌△BAE，
∴BE=DC；
（3）∵△DAC≌△BAE，
∴∠ACD=∠AEB，
则∠DFE=∠FEC+∠FCE=∠FEC+∠ACD+∠ACE=∠FEC+∠AEB+∠ACE=∠AEC+∠ACE=120°．

点评：此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．