Question

20．如图，正方形ABCD的边长为3，点0是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，连接BE．过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 先由SAS证明△OBG≌△OCF，得出OG=OF，∠BOG=∠COF，证出OG⊥OF，由射影定理求出BE、BF、CF、GF，再由勾股定理即可求出OF的长．

解答 解：在BE上截取BG=CF，连接OG，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=3，∠BCD=∠ABC=∠BAD=∠ADC=90°，OB=OC，
∵Rt△BCE中，CF⊥BE，
∴∠EBC=∠ECF，
∴∠OBG=∠OCF，
在△OBG与△OCF中，$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}&{\;}\\{∠OBG=∠OCF}&{\;}\\{BG=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OBG≌△OCF（SAS），
∴OG=OF，∠BOG=∠COF，
∴OG⊥OF，
在Rt△BCE中，BC=DC=3，DE=2CE，
∴CE=1，
∴BE=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
根据射影定理得：BC²=BF•BE，
则3²=BF•$\sqrt{10}$，解得：BF=$\frac{9}{10}\sqrt{10}$，
∴EF=BE-BF=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∵CF²=BF•EF，
∴CF=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴GF=BF-BG=BF-CF=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
在等腰直角△OGF中，OF²=$\frac{1}{2}$GF²=$\frac{9}{5}$，
∴OF=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、射影定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．