Question

16．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，CD⊥AB于点D，射线DE与射线DF互相垂直．
（1）如图1，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，求证：四边形CEDF是正方形．
（2）如图2，求证：四边形CEDF的面积S_CEDF=$\frac{1}{2}$S_△ABC．
（3）如图3，△GDF的面积是否等于$\frac{1}{2}$S_△ABC？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得到四边形CEDF是矩形，根据等腰直角三角形的性质得到∠ECD=∠FCD=45°，求得CF=DF，于是得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到CD=DB，∠ECD=∠FBD=45°，推出△CDE≌△BDF，于是得到结论；
（3）同（2）可得△CDE≌△BDF，于是得到S_△GDF=$\frac{1}{2}$S_△ABC，即可得到结论．

解答 证明：（1）∵∠C=90°，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，
∴四边形CEDF是矩形，
∵△ABC是等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴∠ECD=∠FCD=45°，
∴CF=DF，
∴四边形CEDF是正方形；

（2）∵△ABC是等腰直角三角形，CD⊥AB于点D，
∴CD=DB，∠ECD=∠FBD=45°，
∵∠CDE=90°-∠CDF=∠BDF，
在△CDE与△BDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CDE=∠BDF}\\{CD=BD}\\{∠DCE=∠B}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△BDF，
∴S_{正方形CEDF}=S_△CDB=$\frac{1}{2}$S_△ABC；

（3）△GDF的面积不等于$\frac{1}{2}$S_△ABC，
理由：同（2）可得△CDE≌△BDF，
∴S_△GDF=S_△GDB+S_△BDF=S_△GDB+S_△CDE＞S_△BDG+S_△CDG=S_△BCD=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴△GDF的面积不等于$\frac{1}{2}$S_△ABC．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，证得△CDE≌△BDF是解题的关键．