Question

1．如图，在△ABC中，AB=3AD，DE∥BC，EF∥AB，AB=BC=9，AC=6．
（1）求△ADE的周长；
（2）△ADE和△EFC的面积比．

Answer 1

分析 （1）由AB=BC=9，AC=6，求得△ABC的周长=24，根据已知条件推出△ADE∽△EFC，根据相似三角形的性质得到结论；
（2）由DE∥BC，EF∥AB，得到四边形BFED是平行四边形，求得DE=BF，通过△ADE∽△ABC，得到$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{3}$，于是得到$\frac{DE}{CF}$=$\frac{1}{2}$，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵AB=BC=9，AC=6，
∴△ABC的周长=24，
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴∠AED=∠ECF，∠CEF=∠EAD．
∴△ADE∽△EFC，
∴△ADE的周长：△ABC的周长=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴△ADE的周长=8；

（2）∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形BFED是平行四边形，
∴DE=BF，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{DE}{CF}$=$\frac{1}{2}$，
由（1）证得△ADE∽△EFC，
∴△ADE和△EFC的面积=（$\frac{DE}{CF}$）²=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．