Question

10．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AB，BC上，且AE=$\frac{1}{3}$AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①③
• D． ①④

Answer 1

分析 求出BE=2AE，根据翻折的性质可得PE=BE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根据翻折的性质求出∠BEF=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE，判断出①正确；利用30°角的正切值求出PF=$\sqrt{3}$PE，判断出②错误；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判断出③错误；求出∠PBF=∠PFB=60°，然后得到△PBF是等边三角形，判断出④正确．

解答 解：∵AE=$\frac{1}{3}$AB，
∴BE=2AE，
由翻折的性质得，PE=BE，
∴∠APE=30°，
∴∠AEP=90°-30°=60°，
∴∠BEF=$\frac{1}{2}$（180°-∠AEP）=$\frac{1}{2}$（180°-60°）=60°，
∴∠EFB=90°-60°=30°，
∴EF=2BE，故①正确；

由折叠可得，∠PFE=∠BFE=30°，
∴Rt△PEF中，PF=$\sqrt{3}$PE，故②错误；

由翻折可知EF⊥PB，
∴∠EBQ=∠EFB=30°，
∴BE=2EQ，EF=2BE=4EQ，
∴FQ=3EQ，故③错误；

由翻折的性质，∠EFB=∠EFP=30°，
∴∠BFP=30°+30°=60°，
∵∠PBF=90°-∠EBQ=90°-30°=60°，
∴∠PBF=∠PFB=60°，
∴△PBF是等边三角形，故④正确；
综上所述，结论正确的是①④．
故选：D．

点评 本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定，熟记各性质并准确识图是解题的关键．