如图.在平面直角坐标系中.四边形为矩形...为直线上一动点.将直线绕点逆时针方向旋转交直线于点,(1)当点在线段上运动(不与重合)时.求证:OA·BQ=AP·BP,成立的条件下.设点的横坐标为.线段的长度为.求出关于的函数解析式.并判断是否存在最小值.若存在.请求出最小值,若不存在.请说明理由.(3)直线上是否存在点.使为等腰三角形.若存在.请求出点的坐标,若不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，在平面直角坐标系中，四边形

为矩形，

，

为直线

上一动点，将直线

绕点

逆时针方向旋转

交直线

于点

；

（1）当点

在线段

上运动（不与

重合）时，求证：OA·BQ=AP·BP；
（2）在（1）成立的条件下，设点

的横坐标为

，线段

的长度为

，求出

关于

的函数解析式，并判断

是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。
（3）直线

上是否存在点

，使

为等腰三角形，若存在，请求出点

的坐标；若不存在，请说明理由。

略

（1）证明：∵四边形OABC为矩形
∴∠OAP=∠QBP=90°，
∵∠OPQ=90°, ∴∠APO+∠BPQ=90

=∠APO+∠AOP
∴∠BPQ=∠AOP, ∴△AOP∽△BPQ
∴

∴OA·BQ=AP·BP ----------------------3分
(2) 由（1）知OA·BQ=AP·BP ∴3×BQ="m(4-m) " ∴BQ=

∴CQ=3-

即L=

(0＜m＜4)
=

∴当m="2" 时， L（最小）=

-----------------6分
(3)∵∠OPQ=90°,∴要使△POQ为等腰三角形，则PO="PQ" .
当点P在线段AB上时，如图

AOP≌△BPQ ∴PB="AO=3 "
∴AP=4-3=1
∴

(1,3)
当点P在线段AB的延长线上时，如图

此时△QBP≌△PAO
∴PB="AO=3 " ∴AP="4+3=7 "
∴

(7,3)
当点P在线段AB的反向延长线上时，如图

此时∵PB＞AB＞AO,
∴△PQB不可能与△OPA全等,
即PQ不可能与PO相等,
此时点P不存在.
综上所述，知存在

(1,3),

(7,3). ---------------9分

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