Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D是AB边的中点，且∠BAC+∠DCB=90°．试判断△ABC的形状并证明．

Answer 1

【答案】分析：分情况进行讨论，（1）当AB不过圆心O时：首先延长CD交⊙O于点E，根据已知推出CE为圆的直径，即可推出AC=BC，即△ABC为等腰三角形．（2）当AB经过圆心O时，在（1）的论证基础上，即可推出△ABC为等腰直角三角形．
解答：解：（1）当AB不过圆心O时，△ABC为等腰三角形．（1分）
延长CD交⊙O于点E，
∵∠BAC+∠DCB=90°，
∴弧CB与弧BE的度数之和等于180°．
∴CE为⊙O的直径．
∵点D是AB的中点，
∴CE⊥AB于点D．
∴AC=BC．
∴△ABC为等腰三角形；（3分）

（2）当AB经过圆心O时，△ABC为等腰直角三角形（4分）．
同（1）可证△ABC为等腰直角三角形，
又∵AB经过圆心，即AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴△ABC为等腰直角三角形．（5分）
点评：本题主要考查圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定，关键在于根据题意正确地作出辅助线，然后求证CE为⊙O的直径．