Question

15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（-4，0）．
（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；
（2）点D的坐标为（0，4），点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S．
①求S的最大值；
②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值．

Answer 1

分析 （1）把A点和B点坐标代入y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线的解析式；然后计算函数值为0时对应的自变量的值即可得到C点坐标
（2）①连结OF，如图，设F（t，-$\frac{1}{4}$t²+t+8），利用S_{四边形OCFD}=S_△CDF+S_△OCD=S_△ODF+S_△OCF，利用三角形面积公式得到S_△CDF=-t²+6t+16，再利用二次函数的性质得到△CDF的面积有最大值，然后根据平行四边形的性质可得S的最大值；
②由于四边形CDEF为平行四边形，则CD∥EF，CD=EF，利用C点和D的坐标特征可判断点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，则点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E（t-8，-$\frac{1}{4}$t²+t+12），然后把E（t-8，-$\frac{1}{4}$t²+t+12）代入抛物线解析式得到关于t的方程，再解方程求出t后计算△CDF的面积，从而得到S的值．

解答 解：（1）把A（0，8），B（-4，0）代入y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=8}\\{-4-4b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=8}\end{array}\right.$，
所以抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+x+8；
当y=0时，-$\frac{1}{4}$x²+x+8=0，解得x₁=-4，x₂=8，
所以C点坐标为（8，0）；
（2）①连结OF，如图，设F（t，-$\frac{1}{4}$t²+t+8），
∵S_{四边形OCFD}=S_△CDF+S_△OCD=S_△ODF+S_△OCF，
∴S_△CDF=S_△ODF+S_△OCF-S_△OCD=$\frac{1}{2}$•4•t+$\frac{1}{2}$•8•（-$\frac{1}{4}$t²+t+8）-$\frac{1}{2}$•4•8
=-t²+6t+16
=-（t-3）²+25，
当t=3时，△CDF的面积有最大值，最大值为25，
∵四边形CDEF为平行四边形，
∴S的最大值为50；
②∵四边形CDEF为平行四边形，
∴CD∥EF，CD=EF，
∵点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，
∴点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E（t-8，-$\frac{1}{4}$t²+t+12），
∵E（t-8，-$\frac{1}{4}$t²+t+12）在抛物线上，
∴-$\frac{1}{4}$（t-8）²+t-8+8=-$\frac{1}{4}$t²+t+12，解得t=7，
当t=7时，S_△CDF=-（7-3）²+25=9，
∴此时S=2S_△CDF=18．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，掌握点平移的坐标规律．