Question

17．如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OB，由垂径定理的推论得出BE=DE，OE⊥BD，$\widehat{BF}=\widehat{DF}$=$\frac{1}{2}$$\widehat{BD}$，由圆周角定理得出∠BOE=∠A，证出∠OBE+∠DBC=90°，得出∠OBC=90°即可；
（2）由勾股定理求出OC，由△OBC的面积求出BE，即可得出弦BD的长．

解答 （1）证明：连接OB，如图所示：
∵E是弦BD的中点，
∴BE=DE，OE⊥BD，$\widehat{BF}=\widehat{DF}$=$\frac{1}{2}$$\widehat{BD}$，
∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°，
∵∠DBC=∠A，
∴∠BOE=∠DBC，
∴∠OBE+∠DBC=90°，
∴∠OBC=90°，
即BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵OB=6，BC=8，BC⊥OB，
∴OC=$\sqrt{O{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∵△OBC的面积=$\frac{1}{2}$OC•BE=$\frac{1}{2}$OB•BC，
∴BE=$\frac{OB•BC}{OC}$=$\frac{6×8}{10}$=4.8，
∴BD=2BE=9.6，
即弦BD的长为9.6．

点评 本题考查了切线的判定、垂径定理的推论、圆周角定理、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握垂径定理的推论和圆周角定理是解决问题的关键．