Question

17．如图，四边形ABCD是矩形纸片，AD=2$\sqrt{3}$，对折矩形纸片ABCD，使AB与CD重合，折痕为EF；展平后再过点A折叠矩形纸片，使点D落在EF上的点N，折痕AG与EF相交于点Q；再次展平，连接AN，GN，延长GN交AB于点M，有如下结论：
①MN=NG；②EQ=1；③△GAM一定是等边三角形；④P为线段AG上一动点，则PD+PE的最小值是2+$\sqrt{3}$．其中正确结论的序号是①②③．

Answer 1

分析 由四边形ABCD是矩形，得到AB∥CD，根据折叠的性质得到AB∥EF∥CD，AE=DE，根据平行线等分线段定理即可得到MN=NG；故①正确；由折叠的性质得∠DAG=∠NAG，∠ANG=∠ADG=90°，解直角三角形得到EQ=1，故②正确；根据线段垂直平分线的性质得到AG=AM，由等边三角形的判定定理即可得到△AGM是等边三角形；故③正确；由点D与N关于AG对称，得到NE的长度即为PD+PE的最小值，解直角三角形得到PD+PE的最小值为3，故④错误．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∵对折矩形纸片ABCD，使AB与CD重合，
∴AB∥EF∥CD，AE=DE，
∴MN=NG；故①正确；
∵由折叠的性质得∠DAG=∠NAG，∠ANG=∠ADG=90°，
∴AN⊥GM，
∴∠GAN=∠MAN，
∵∠DAB=90°，
∴∠DAG=∠GAN=∠MAN=30°，
∵AE=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{3}$，
∴EQ=1，故②正确；
∵AN垂直平分MG，
∴AG=AM，
∵∠GAM=60°，
∴△AGM是等边三角形；故③正确；
∵点D与N关于AG对称，
∴NE的长度即为PD+PE的最小值，
∵AE=$\sqrt{3}$，∠EAN=60°，∠AEN=90°
∴NE=3，
即PD+PE的最小值为3，故④错误，
故答案为：①②③．

点评 此题主要考查了几何变换综合题，等边三角形的判定和性质的应用，以及矩形的性质和应用，折叠的性质，要熟练掌握．