Question

如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）△COD是什么三角形？说明理由；
（2）若AO=n²+1，AD=n²-1，OD=2n（n为大于1的整数），求α的度数；
（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）根据旋转的性质可得CO=CD，∠OCD=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形解答；
（2）利用勾股定理逆定理判定△AOD是直角三角形，并且∠ADO=90°，从而求出∠ADC=150°，再根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得α=∠ADC；
（3）根据周角为360°用α表示出∠AOD，再根据旋转的性质表示出∠ADO，然后利用三角形的内角和定理表示出∠DAO，再分∠AOD=∠ADO，∠AOD=∠DAO，∠ADO=∠DAO三种情况讨论求解．

解答：解：（1）△COD是等边三角形．
理由如下：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等边三角形；

（2）∵AD²+OD²=（n²-1）²+（2n）²
=n⁴-2n²+1+4n²
=n⁴+2n²+1
=（n²+1）²
=AO²，
∴△AOD是直角三角形，且∠ADO=90°，
∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠ADC=∠ADO+∠CDO=90°+60°=150°，
根据旋转的性质，α=∠ADC=150；

（3）∵α=∠ADC，∠CDO=60°，
∴∠ADO=α-60°，
又∵∠AOD=360°-110°-α-60°=190°-α，
∴∠DAO=180°-（190°-α）-（α-60°）=180°-190°+α-α+60°=50°，
∵△AOD是等腰三角形，
∴①∠AOD=∠ADO时，190°-α=α-60°，
解得α=125°，
②∠AOD=∠DAO时，190°-α=50°，
解得α=140°，
③∠ADO=∠DAO时，α-60°=50°，
解得α=110°，
综上所述，α为125°或140°或110°时，△AOD是等腰三角形．

点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，（3）用α表示出△AOD的各个内角是解题的关键，注意要分情况讨论．