Question

5．已知：∠AOB=50°，点P在∠AOB的内部，点P₁与点P关于OA对称，点P₂与点P关于OB对称，P₁P₂交OA于点M，交OB与点N，且P₁P₂=6cm．
（1）求∠P₁OP₂的度数．
（2）连接PM、PN，求△PMN的周长．

Answer 1

分析 （1）根据轴对称的性质，∠AOB=50°，P为∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点分别为P₁、P₂，∠AOP=∠AOP₁，∠BOP=∠BOP₂，可求出∠P₁OP₂的度数；
（2）根据轴对称的性质可得PM=P₁M，PN=P₂N，然后求出△PMN的周长=P₁P₂．

解答 解：（1）如图，

∵P₁与P关于OA对称，
∴OP=OP₁，
∵P₂与P关于OB对称，
∴OP=OP₂，
∴OP₁=OP₂，
∵P₁与P关于OA对称，
∴∠POA=∠AOP₁，
∵P₂与P关于OB对称，
∴∠BOP=∠BOP₂，
又∵∠P₁OP₂=∠AOP₁+∠AOP+∠BOP+∠BOP₂，
∵∠P₁OP₂=∠BOP+∠BOP+∠AOP+∠AOP，
=2（∠BOP+∠APO），
=2∠AOB，
∵∠AOB=50°，
∴∠P₁OP₂=2×50°=100°；

（2）∵点P关于OA、OB的对称点P₁、P₂，
∴PM=P₁M，PN=P₂N，
∴△PMN的周长=PM+MN+PN=P₁M+MN+P₂N=P₁P₂，
∵P₁P₂=6cm，
∴△PMN的周长=6cm．

点评 本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．