Question

已知：如图，在锐角∠MAN的边AN上取一点B，以AB为直径的半圆O交AM于C，交∠MAN的角平分线于E，过点E作ED⊥AM，垂足为D，反向延长ED交AN于F．
（1）猜想ED与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若cos∠MAN=

1

2

，AE=

3

，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）连接OE，根据角平分线的性质及等边对等角可求得∠1=∠3，再根据平行线的性质即可得到OE⊥DE，因为OE是半径，从而得到ED与⊙O相切．
（2）由已知可得到∠MAN=60°，从而推出∠2=∠AFD=30°，根据等角对等边得到EF=AE，再根据S_阴=S_△OEF-S_扇形OEB即可求解．

解答：解：（1）DE与⊙O相切．（1分）
理由如下：
连接OE，
∵AE平分∠MAN，
∴∠1=∠2．
∵OA=OE，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
∴OE∥AD．
∴∠OEF=∠ADF=90°．（2分）
∴OE⊥DE，垂足为E．
∵点E在半圆O上，
∴ED与⊙O相切．（3分）

（2）∵cos∠MAN=

1

2

，
∴∠MAN=60°．
∴∠2=

1

2

MAN=

1

2

×60°=30°．
∴∠AFD=90°-∠MAN=90°-60°=30°．
∴∠2=∠AFD．
∴EF=AE=

3

．（4分）
在Rt△OEF中，tan∠OFE=

OE

EF

，
∴tan30°=

OE

3

．
∴OE=1．（5分）
∵∠4=∠MAN=60°，
∴S_阴=S_△OEF-S_扇形OEB=

1

2

×1×

3

-

60•π•12

360

=

3

2

-

1

6

π．（6分）

点评：此题主要考查学生对切线的判定方法及扇形面积计算的综合运用能力．