Question

6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=3，将∠ABC对折，使点C的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，抛物线经过A、B、O三点．
（1）求A、B、O三点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若在抛物线上有一点E，在对称轴上有一点F，
①求△OBF的周长取得最小值时的点F的坐标；
②以O、A、E、F为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设OC=x，则OH=x，OA=4-x，根据翻折的性质结合勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解方程求出x值，由此即可得出点A、B、O的坐标；
（2）根据点A、O的坐标可设抛物线的解析式为y=ax•（x+$\frac{5}{2}$），代入点B的坐标即可求出a值，从而得出抛物线的解析式；
（3）①根据抛物线的对称性即可得出当点F为直线AB与抛物线对称轴的交点时，△OBF的周长取得最小值，根据点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式，再利用配方法找出抛物线的对称轴，将其代入直线AB的解析式中即可得出点F的坐标；
②假设能，分以OA为对角线和边两种情况来考虑，画出图形，利用数形结合结合平行四边形的性质即可得出点F的坐标．

解答 解：（1）设OC=x，则OH=x，OA=4-x．
由翻折的性质可知：BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，
∴AH=AB-BH=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$-3=2．
在Rt△AHO中，∠AHO=90°，
∴AO²=AH²+OH²，即（4-x）²=x²+2²，
解得：x=$\frac{3}{2}$，
∴4-x=$\frac{5}{2}$，
∴点A（-$\frac{5}{2}$，0），点B（$\frac{3}{2}$，3），点O（0，0）．
（2）设抛物线的解析式为y=ax•（x+$\frac{5}{2}$），
把B（$\frac{3}{2}$，3）代入得：3=a×$\frac{3}{2}$×（$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{2}$）=6a，
解得：a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x（x+$\frac{5}{2}$）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{4}$x．
（3）①∵点O、A关于抛物线的对称轴对称，
∴当点F为直线AB与抛物线对称轴的交点时，△OBF的周长取得最小值．
∵y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{4}$x=$\frac{1}{2}$$（x+\frac{5}{4}）^{2}$-$\frac{25}{32}$，
∴抛物线的对称轴为x=-$\frac{5}{4}$．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{0=-\frac{5}{2}k+b}\\{3=\frac{3}{2}k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{15}{8}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{15}{8}$．
当x=-$\frac{5}{4}$时，y=$\frac{3}{4}$×（-$\frac{5}{4}$）+$\frac{15}{8}$=$\frac{15}{16}$，
∴△OBF的周长取得最小值时的点F的坐标为（-$\frac{5}{4}$，$\frac{15}{16}$）．
②假设能，设点E的坐标为（m，$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{4}$m）．
以O、A、E、F为顶点的平行四边形有两种情况（如图所示）；
（i）当OA为对角线时，点E为抛物线的顶点，
此时点E的坐标为（-$\frac{5}{4}$，-$\frac{25}{32}$）；
（ii）当OA为边时，
∵A（-$\frac{5}{2}$，0），O（0，0），
∴|m+$\frac{5}{4}$|=0-（-$\frac{5}{2}$），解得：m=$\frac{5}{4}$或m=-$\frac{15}{4}$，
此时点E的坐标为（$\frac{5}{4}$，$\frac{75}{32}$）或（-$\frac{15}{4}$，$\frac{75}{32}$）．
综上可知：以O、A、E、F为顶点的四边形可以成为平行四边形，点E的坐标为（-$\frac{5}{4}$，-$\frac{25}{32}$）、（$\frac{5}{4}$，$\frac{75}{32}$）或（-$\frac{15}{4}$，$\frac{75}{32}$）．

点评 本题考查了勾股定理、待定系数法求函数解析式以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据勾股定理找出关于x的方程；（2）利用待定系数法求出函数解析式；（3）①找出点F的位置；②分OA为对角线和边两种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．