Question

11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，圆O是△ABC的外接圆，点M是CB的中点，连接OM并延长交劣弧$\widehat{BC}$于点D，连接BD并延长与过点A的切线交于点E，P是直线OD上一个动点，当|PE-PB|有最大值时，PD的长度是$\frac{165}{74}$．

Answer 1

分析 建立如图平面直角坐标系，易知A（-2，$\frac{3}{2}$），B（2，-$\frac{3}{2}$），C（-2，-$\frac{3}{2}$），D（0，-$\frac{5}{2}$），在△PCE中，|PE-PC|≤EC，当P、C、E共线时，|PE-PB|=|PE-PC|的值最大，求出点P的坐标即可解决问题．

解答 解：建立如图平面直角坐标系，易知A（-2，$\frac{3}{2}$），B（2，-$\frac{3}{2}$），C（-2，-$\frac{3}{2}$），D（0，-$\frac{5}{2}$），

∴直线AB的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x，直线BD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$，
∵EA是⊙O的切线，
∴EA⊥AB，
∴直线AE的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{25}{6}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+\frac{25}{6}}\\{y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{80}{3}}\\{y=-\frac{95}{6}}\end{array}\right.$，
∴E（-$\frac{80}{3}$，-$\frac{95}{6}$），
∴直线EC的解析式为y=$\frac{43}{74}$x-$\frac{25}{74}$，
∵OP垂直平分线段BC，
∴PC=PB，
∴|PE-PB|=|PE-PC|，
在△PCE中，|PE-PC|≤EC，
当P、C、E共线时，|PE-PB|=|PE-PC|的值最大，此时P（0，-$\frac{25}{74}$），
∴PD=$\frac{5}{2}$-$\frac{25}{74}$=$\frac{165}{74}$．
故答案为$\frac{165}{74}$．

点评 本题考查切线的性质、一次函数的应用、三角形的三边关系、平面直角坐标系等知识，解题的关键是学会构建平面直角坐标系，利用一次函数解决问题，题目比较难，综合性比较强．