Question

【题目】如图，在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C，且与OA交于点E，与OB交于点F，连接CE，CF．
（1）求证：AB与⊙O相切．
（2）若∠AOB=∠ECF，试判断四边形OECF的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，

∵在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，

∴OC⊥AB，

∵OC为半径，

∴AB与⊙O相切；

（2）解：四边形OECF的形状是菱形，

理由是：

如图，取圆周角∠M，

则∠M+∠ECF=180°，

由圆周角定理得：∠EOF=2∠M，

∵∠ECF=∠EOF，

∴∠ECF=2∠M，

∴3∠M=180°，

∠M=60°，

∴∠EOF=∠ECF=120°，

∵OA=OB，

∴∠A=∠B=30°，

∴∠EOC=90°﹣30°=60°，

∵OE=OC，

∴△OEC是等边三角形，

∴EC=OE，

同理OF=FC，

即OE=EC=FC=OF，

∴四边形OECF是菱形．

【解析】（1）连接OC，根据三线合一得出OC⊥AB，根据切线判定推出即可；（2）取圆周角∠M，根据圆周角定理和圆内接四边形性质得出∠M+∠ECF=180°，∠EOF=2∠M，推出∠ECF=2∠M，求出∠M，求出∠EOF，得出等边三角形OEC，推出OE=EC，同理得出OF=FC，推出OE=OF=FC=EC，根据菱形判定推出即可．
【考点精析】利用切线的判定定理对题目进行判断即可得到答案，需要熟知切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．