Question

3．定义：我们把二次函数y=ax²+bx+c和y=-ax²+bx-c这两个二次函数称为一对友好函数，并称函数y=ax²+bx+c是函数y=-ax²+bx-c的友好函数．函数y=-ax²+bx-c也是函数y=ax²+bx+c的友好函数．
（1）请你写出一对友好函数；
（2）若函数y=2x²+bx+c与它的友好函数的图象的顶点重合，求b和c的值；
（3）如图，若函数y=-x²+bx+c的图象的顶点P是抛物线y=$（\frac{1}{4}x+1）^{2}$第一象限上的一个动点，且与x轴交于点A（x₁，0）和点B（x₂，0），且x₁＜x₂，并且它的友好函数的图象与x轴交于点C（x₃，0）和点D（x₄，0），且x₃＜x₄若点D和点A是线段CB的三等分点，求b和c的值．

Answer 1

分析 （1）任意取一组a、b、c的值代入函数解析式即可得到一对友好函数；
（2）由抛物线的顶点重合可知：$\frac{-b}{-2}=\frac{-b}{2}$，c=-c，从而可求得b=0，c=0；
（3）设点P的坐标为（m，$（\frac{1}{4}m+1）^{2}$），则两抛物线的解析式为y₁=$-（x-m）^{2}+（\frac{1}{4}m+1）^{2}$和y₂=$（x+m）^{2}-（\frac{1}{4}m+1）^{2}$，然后分别令y₁=0，y₂=0，从而可解得各点的坐标，从而可求得AB、CD、AD的长度（用含m的式表示），然后根据点D和点A是线段CB的三等分点列出关于m的方程，从而可求得m的值，将m的值代入函数的解析式得到抛物线的一般形式即可求得b、c的值．

解答 解：（1）令a=1，b=2，c=3得：y=ax²+bx+c=x²+2x+3，y=-ax²+bx-c=-x²+2x-3，
∴y=x²+2x+3和y=-x²+2x-3是一对友好函数；
（2）∵两个函数的顶点重合，
∴两抛物线的对称轴重合，即：$\frac{-b}{-2}=\frac{-b}{2}$．
∴b=0．
∴两抛物线的解析式为y=2x²+c和y=-2x²-c．
∵两个函数的顶点重合，
∴c=-c．
解得：c=0，
所以b=0，c=0；
（3）设点P的坐标为（m，$（\frac{1}{4}m+1）^{2}$），则两抛物线的解析式为y₁=$-（x-m）^{2}+（\frac{1}{4}m+1）^{2}$和y₂=$（x+m）^{2}-（\frac{1}{4}m+1）^{2}$，
令y₁=0得：-$（x-m）^{2}+（\frac{1}{4}m+1）^{2}=0$，
解得：x_A=$\frac{3}{4}m-1$，x_B=$\frac{5}{4}m+1$，
∴AB=$\frac{5}{4}m+1-（\frac{3}{4}m-1）$=$\frac{1}{2}m+2$．
令y₂=0得：$（x+m）^{2}-（\frac{1}{4}m+1）^{2}$=0，
解得：x_C=$-\frac{5}{4}m-1$，x_D=$-\frac{3}{4}m+1$，
如图1：

则AD=$\frac{3}{4}m-1-（-\frac{3}{4}m+1）$=$\frac{3}{2}m-2$
∵点D和点A是线段CB的三等分点，
∴AD=AB
∴$\frac{3}{2}m-2=\frac{1}{2}m+2$．
解得：m=4，
∴y₁=-（x-4）²+4=-x²+8x-12，所以b=8，c=-12．
如图2；

则AD=$-\frac{3}{4}m+1-（\frac{3}{4}m-1）$=2-$\frac{3}{2}m$．
∵点D和点A是线段CB的三等分点，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB．
∴$2-\frac{3}{2}m=\frac{1}{2}（\frac{1}{2}m+2）$．
解得：m=$\frac{4}{7}$，
∴y₁=$-（x-m）^{2}+（\frac{1}{4}m+1）^{2}$=-$（x-\frac{4}{7}）^{2}+（\frac{8}{7}）^{2}$=-${x}^{2}+\frac{8}{7}x+\frac{48}{49}$．
∴b=$\frac{8}{7}$，c=$\frac{48}{49}$．
综上所述，可知b=8，c=-12或b=$\frac{8}{7}$，c=$\frac{48}{49}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，设出点P的坐标，从而得出抛物线的解析式（含字母m），然后求得A、B、C、D各点的横坐标，从而得出AB、AD的长度是解题的关键．