Question

（2013•临沂）某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元．当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

x（单位：台）	10	20	30
y（单位：万元∕台）	60	55	50

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求该机器的生产数量；
（3）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间满足如图所示的函数关系．该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润．（注：利润=售价-成本）

Answer 1

分析：（1）设y与x之间的关系式为y=kx+b，运用待定系数法就可以求出其关系式，由该机器生产数量至少为10台，但不超过70台就可以确定自变量的取值范围；
（2）根据每台的成本乘以生产数量等于总成本建立方程求出其解即可；
（3）设每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间的函数关系式为z=ma+n，运用待定系数法求出其解析式，再将z=25代入解析式求出a的值，就可以求出每台的利润，从而求出总利润．

解答：解：（1）设y与x之间的关系式为y=kx+b，由题意，得

60=10k+b 50=30k+b

，
解得：

k=- 1 2 b=65

，
∴y=-

1

2

x+65．
∵该机器生产数量至少为10台，但不超过70台，
∴10≤x≤70；

（2）由题意，得
xy=2000，
-

1

2

x²+65x=2000，
-x²+130x-4000=0，
解得：x₁=50，x₂=80＞70（舍去）．
答：该机器的生产数量为50台；

（3）设每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间的函数关系式为z=ma+n，由函数图象，得

35=55m+n 15=75m+n

，
解得：

m=-1 n=90

，
∴z=-a+90．
当z=25时，a=65．
当x=50时，y=40总利润为：25（65-40）=625万元．
答：该厂第一个月销售这种机器的利润为625万元．

点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元二次方程的运用，销售问题利润=售价-进价的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．