Question

抛物线y=ax²+2x+3（a＜0）交x轴于A，B两点，交y轴于点C，顶点为D，而且经过点（2，3）．
（1）写出抛物线的解析式及C、D两点的坐标；
（2）连接BC，以BC为边向右作正方形BCEF，求E、F两点的坐标；若将此抛物线沿其对称轴向上平移，试判断平移后的抛物线是否会同时经过正方形BCEF的两个顶点E、F？若能，写出平移后的抛物线解析式；若不能，请说明理由；
（3）若P是抛物线y=ax²+2x+3上任意一点，过点P作直线垂直于抛物线y=ax²+2x+3的对称轴，垂足为Q，那么是否存在着这样的点P，使以P、Q、D为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出P点的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）y=-x²+2x+3，
C（0，3），D（1，4）．

（2）E（3，6）；F（6，3）
设抛物线沿对称轴向上平移m个单位，
则平移后抛物线解析式为y=-（x-1）²+（4+m），
当点E在此抛物线上，则把E点（3，6）代入，
求的抛物线解析式为：y=-（x-1）²+10，
把x=6代入，y=-15≠3，
所以平移后的抛物线不可能同时经过正方形BCEF的两个顶点E、F．

（3）因为C（0，3），B（3，0），
所以△BOC为等腰直角三角形，
假设存在这样的△DQP与△BOC相似，则△DQP也为等腰直角三角形，DQ=QP．
设P（x，-x²+2x+3），
得到：4-（-x²+2x+3）=x-1或者4-（-x²+2x+3）=1-x，
解得：x=1（舍去）；
x=2；x=0；x=1（舍去），
所以存在这样的P点2个：（2，3）；（0，3）．
分析：（1）将点（2，3）的坐标代入抛物线的解析式中即可求出抛物线的解析式．根据抛物线的解析式即可求出C、D两的坐标．
（2）可先求出E、F点的坐标．然后设出平移后的抛物线的解析式．假设E、F都在平移后的抛物线上，先将E点的坐标代入平移后的抛物线的解析式中即可确定出平移后抛物线的解析式．然后将F点的坐标代入抛物线其中即可判断出是否存在经过平移后同时过E、F点的抛物线．
（3）根据B，C的坐标可知，△BOC是等腰直角三角形，因此如果△PQD与△BOC相似，那么△PQD的两直角边必须相等，可设出P点的坐标（先设P点的横坐标，然后根据抛物线的解析式表示出纵坐标），然后表示出PQ，QD的长，根据PQ=QD即可得出一个关于P点横坐标的方程，如果方程无解，则说明不存在这样的点P，如果有解，那么可根据求出的P的横坐标和抛物线的解析式得出P点的坐标．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的平移、三角形相似等知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．