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    13．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（-3，0）、C（1，0），与y轴交于点B．
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为点F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；
    （3）在（2）的条件下，连接PA，以PA为边作矩形APMN使得$\frac{AP}{PM}$=4，当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．
    （4）如图2，若点Q（0，t）为y轴上任意一点，⊙I为△ABO的内切圆，若⊙I上存在两个点M，N，使∠MQN=60°，请直接写出t的取值范围．

    分析 （1）把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
    （2）根据点A、B的坐标求出OA=OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠BAO=45°，然后求出△PED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，PD越大，△PDE的周长最大，再判断出当与直线AB平行的直线与抛物线只有一个交点时，PD最大，再求出直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，与抛物线解析式联立消掉y，得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0列式求出m的值，再求出x、y的值，从而得到点P的坐标；
    （3）①如图2，点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，利用相似三角形性质即可求出点P坐标，②如图3中，点N在对称轴上时，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，利用相似三角形性质求出PF，即可判断再在这种情形不合题意．③如图3-1中，同法可求．
    （4）如图4中，过点Q作⊙I的切线QM，点Q′作⊙I的切线Q′N，先求出内切圆的半径，再求出当∠MDQ=60°时，DQ的长，再根据对称性即可解决问题．

    解答 解：（1）把A（-3，0）、C（1，0）代入y=ax2+bx+3
    得$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+3=0}\\{a+b+3=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
    ∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3．
    （2）如图1中，∵A（-3，0），B（0，3），
    ∴OA=OB=3，
    ∴△AOB是等腰直角三角形，
    ∴∠BAO=45°，
    ∵PF⊥x轴，
    ∴∠AEF=90°-45°=45°，
    又∵PD⊥AB，
    ∴△PDE是等腰直角三角形，
    ∴PD越大，△PDE的周长越大，
    易得直线AB的解析式为y=x+3，
    设与AB平行的直线解析式为y=x+m，
    联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$，
    消掉y得，x2+3x+m-3=0，
    当△=32-4×1×（m-3）=0，
    即m=$\frac{21}{4}$时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，
    此时x=-$\frac{3}{2}$，y=-$\frac{3}{2}$+$\frac{21}{4}$=$\frac{15}{4}$，
    ∴点P（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）时，△PDE的周长最大；
    （3）①如图2，点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，
    在矩形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，
    ∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°，
    ∴∠APF=∠QPM，
    ∴△APF∽△MPQ，
    ∴$\frac{PF}{PQ}$=$\frac{PA}{PM}$=4，
    设点P的横坐标为n（n＜0），则PQ=-1-n，
    即PF=-4-4n，
    ∴点P的坐标为（n，-4-4n），
    ∵点P在抛物线y=-x2-2x+3上，
    ∴-n2-2n+3=-4-4n，
    整理得，n2-2n-7=0，
    解得n=1-2$\sqrt{2}$或1+2$\sqrt{2}$（舍弃），
    所以，点P的坐标为（1-2$\sqrt{2}$，-8+8$\sqrt{2}$）；
    ②如图3中，点N在对称轴上时，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，
    ∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，
    ∴∠FPA=∠QAN，
    又∵∠PFA=∠AQN=90°，
    ∴△APF∽△NAQ，
    ∴$\frac{AP}{AN}$=$\frac{PF}{AQ}$=4，
    ∵AQ=2，
    ∴PF=8＞4（不合题意），
    ③如图3-1中，同法可求P（-3+2$\sqrt{2}$，-8+8$\sqrt{2}$）
    综上所述点P的坐标为（1-2$\sqrt{2}$，-8+8$\sqrt{2}$）或（-3+2$\sqrt{2}$，-8+8$\sqrt{2}$）．
    （4）如图4中，∵OA=OB=3，∠AOB=90°，
    ∴AB=3$\sqrt{2}$，
    设⊙I分别切OA、OB于F、D．连接ID、IF．
    则四边形IDOF是正方形，ID=$\frac{OA+OB-AB}{2}$=3-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
    过点Q作⊙I的切线QM，点Q′作⊙I的切线Q′N，
    当∠MDQ=60°时，DQ=ID•tan60°=3$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$$\sqrt{6}$，
    ∴OQ=3-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$+3$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$$\sqrt{6}$，
    根据对称性当∠NQ′D=60°时，OQ′=（3$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$$\sqrt{6}$-3+$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$），
    ∴若⊙I上存在两个点M，N，使∠MQN=60°时，3$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$$\sqrt{6}$-3+$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$≤t≤3-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$+3$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$$\sqrt{6}$．

    点评 本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，抛物线上点的坐标特征，（2）确定出△PDE是等腰直角三角形，从而判断出点P为平行于AB的直线与抛物线只有一个交点时的位置是解题的关键，（3）根据全等三角形的性质用点P的横坐标表示出纵坐标或用纵坐标求出横坐标是解题的关键．（4）解题关键是求出∠DQM=60°时，DQ的长．属于中考压轴题．

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