Question

8．已知：如图，在?ABCD中，BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，∠BFE=∠C．
（1）△ABF与△EAD相似吗？为什么？
（2）若AB=3，AD=2，∠BAE=30°，求AE，BF的长．

Answer 1

分析 （1）求三角形相似就要得出两组对应的角相等，已知了∠BFE=∠C，根据等角的补角相等可得出∠ADE=∠AFB，根据AB∥CD可得出∠BAF=∠AED，这由此即可证明
（2）根据△ABF∽△EAD得到$\frac{AB}{AE}$=$\frac{BF}{AD}$，根据∠AED=30°、AB=3得到BE=$\sqrt{3}$，AE=$\sqrt{10}$，代入即可求出BF．

解答 解：（1）结论：△ABF∽△EAD．
理由：在平行四边形ABCD中，
∵∠D+∠C=180°，AB∥CD，
∴∠BAF=∠AED．
∵∠AFB+∠BFE=180°，∠D+∠C=180°，∠BFE=∠C，
∴∠AFB=∠D，
∴△ABF∽△EAD．

（2）∵△ABF∽△EAD
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{BF}{AD}$，
∵∠AED=30°，
∴∠BAE=30°，
∵AB=3，
∴BE=$\sqrt{3}$，AE=$\sqrt{10}$，
∴$\frac{3}{\sqrt{10}}$=$\frac{BF}{2}$，
∴BF=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质/平行四边形的性质、勾股定理，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．